Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
\int \frac{(2 \ln x+1}{x\left[(\ln x)^{2}+\ln x\right]} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados:
  • Pede calcular a integral indefinida
    \displaystyle \int \frac{(2 \ln x+1)}{x\left[(\ln x)^{2}+\ln x\right]} \, d x.
  • Informação relevante que vem do enunciado:
    • A variável de integração é x.
    • Aparecem expressões com \ln x e um fator 1/x multiplicando o resto.
    • Para que \ln x esteja definido, supõe-se x>0 (ou, em geral, a integral é sobre domínio onde x>0).

Passo 2

Escolha do método (por que fazer uma substituição):
Quando numa integral aparece \ln x e também um fator 1/x, é um sinal clássico para tentar a substituição
u=\ln x,
pois a derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}. Isso costuma simplificar expressões envolvendo \ln x transformando a integral em uma integral racional em u, o que é mais fácil de manejar. Nenhum outro dado do enunciado exige um método diferente, então essa é a escolha natural.

Passo 3

Executando a substituição u=\ln x:
Calcule du. Como u=\ln x, tem-se
du=\frac{1}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = x\,du.
Mas na prática usamos du=\dfrac{1}{x}dx, então o fator dx/x da integral vira du. Substituindo na integral,
\int \frac{(2 \ln x+1)}{x\left[(\ln x)^{2}+\ln x\right]}\,dx =\int \frac{2u+1}{u^{2}+u}\,du.

Passo 4

Simplificar a integral em u e preparar para frações parciais:
Observe que o denominador pode ser fatorado:
u^{2}+u = u(u+1).
Portanto a integral ficou
\int \frac{2u+1}{u(u+1)}\,du.
Como o numerador tem grau menor que o denominador e o denominador é produto de dois fatores lineares distintos, podemos decompor em frações parciais:
\frac{2u+1}{u(u+1)}=\frac{A}{u}+\frac{B}{u+1}.

Passo 5

Encontrar A e B (resolução passo a passo):
Multiplicando ambos os lados por u(u+1) obtemos
2u+1 = A(u+1)+B u = (A+B)u + A.
Comparando coeficientes no polinômio em u:
  • Coeficiente de u: A+B=2.
  • Termo constante: A=1.
Então A=1 e, substituindo em A+B=2, obtemos 1+B=2 logo B=1. Assim
\frac{2u+1}{u(u+1)}=\frac{1}{u}+\frac{1}{u+1}.

Passo 6

Integrar as frações simples e interpretar cada passo:
Integramos termo a termo:
\int\left(\frac{1}{u}+\frac{1}{u+1}\right)\,du =\int\frac{1}{u}\,du+\int\frac{1}{u+1}\,du.
Lembrando que \displaystyle\int \frac{1}{t}\,dt=\ln|t|+C (essa é a primitiva básica da função 1/t), e aplicando a regra de substituição simples no segundo termo (a derivada de u+1 é 1), obtemos
\int\frac{1}{u}\,du=\ln|u|,\qquad \int\frac{1}{u+1}\,du=\ln|u+1|.
Somando,
\int \frac{2u+1}{u(u+1)}\,du=\ln|u|+\ln|u+1|+C.

Passo 7

Voltar para a variável x e escrever a resposta final de forma compacta:
Substituindo u=\ln x de volta, obtemos
\ln|\ln x|+\ln|\ln x+1|+C.
Podemos também combinar os logaritmos num único logaritmo do produto:
\ln\!\bigl(|\ln x|\;|\ln x+1|\bigr)+C=\ln\!\bigl(|\ln x(\ln x+1)|\bigr)+C.
Relembre que usamos valor absoluto dentro do logaritmo para garantir que o argumento do \ln seja positivo; a integral original exige x>0 para \ln x estar definida.

Resposta

\displaystyle \ln\!\bigl|\ln x(\ln x+1)\bigr|+C

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