Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados:
- Pede calcular a integral indefinida
. - Informação relevante que vem do enunciado:
- A variável de integração é
. - Aparecem expressões com
e um fator multiplicando o resto. - Para que
esteja definido, supõe-se (ou, em geral, a integral é sobre domínio onde ).
- A variável de integração é
Passo 2
Escolha do método (por que fazer uma substituição):
Quando numa integral aparece e também um fator
, é um sinal clássico para tentar a substituição
Quando numa integral aparece
pois a derivada de
é
. Isso costuma simplificar expressões envolvendo
transformando a integral em uma integral racional em
, o que é mais fácil de manejar. Nenhum outro dado do enunciado exige um método diferente, então essa é a escolha natural.
Passo 3
Executando a substituição
:
Calcule . Como
, tem-se
Calcule
Mas na prática usamos
, então o fator
da integral vira
. Substituindo na integral,
Passo 4
Simplificar a integral em
e preparar para frações parciais:
Observe que o denominador pode ser fatorado:
Observe que o denominador pode ser fatorado:
Portanto a integral ficou
Como o numerador tem grau menor que o denominador e o denominador é produto de dois fatores lineares distintos, podemos decompor em frações parciais:
Passo 5
Encontrar
e
(resolução passo a passo):
Multiplicando ambos os lados por obtemos
Multiplicando ambos os lados por
Comparando coeficientes no polinômio em
:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Então
e, substituindo em
, obtemos
logo
. Assim
Passo 6
Integrar as frações simples e interpretar cada passo:
Integramos termo a termo:
Integramos termo a termo:
Lembrando que
(essa é a primitiva básica da função
), e aplicando a regra de substituição simples no segundo termo (a derivada de
é
), obtemos
Somando,
Passo 7
Voltar para a variável
e escrever a resposta final de forma compacta:
Substituindo de volta, obtemos
Substituindo
Podemos também combinar os logaritmos num único logaritmo do produto:
Relembre que usamos valor absoluto dentro do logaritmo para garantir que o argumento do
seja positivo; a integral original exige
para
estar definida.