Nos itens a seguir, determine a soma de Riemann para a função no intervalo, usando a partição P dada e os valores de c_{i} dados.
f(x)=x^{2}, 0 \leq x \leq 3;
P: x_{0}=0, x_{1}=\frac{1}{2}, x_{2}=1 \frac{1}{4}, x_{3}=2 \frac{1}{4}, x_{4}=3 ;
c_{1}=\frac{1}{4}, c_{2}=1, c_{3}=1 \frac{1}{2}, c_{4}=2 \frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado pede que se determine a soma de Riemann para a função f(x)=x^{2} no intervalo [0,3], usando a partição P e os pontos c_{i} fornecidos. Dados do problema (peguei todos estes números do enunciado):
  • Função: f(x)=x^{2}.
  • Intervalo: 0\le x\le3.
  • Partição P: x_{0}=0,\; x_{1}=\tfrac{1}{2},\; x_{2}=1\tfrac{1}{4}=\tfrac{5}{4},\; x_{3}=2\tfrac{1}{4}=\tfrac{9}{4},\; x_{4}=3.
  • Pontos amostrais: c_{1}=\tfrac{1}{4},\; c_{2}=1,\; c_{3}=1\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2},\; c_{4}=2\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}.
  • Objetivo final: calcular numericamente a soma de Riemann correspondente.

Passo 2

O que é a soma de Riemann aqui e como escrevê-la (explicação didática e direta, sem pular etapas). Para uma partição com 4 subintervalos e pontos amostrais c_{i} escolhidos em cada subintervalo, a soma de Riemann é
S=\sum_{i=1}^{4} f(c_{i})\,\Delta x_{i},
onde \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1} é a largura do i-ésimo subintervalo e f(c_{i}) é o valor da função no ponto amostral. Em palavras: multiplica-se o valor da função no ponto escolhido pela largura do subintervalo, e soma-se para todos os subintervalos. Agora vamos aplicar isso passo a passo aos números dados.

Passo 3

Calcular as larguras \Delta x_{i} de cada subintervalo (mostrando as contas):
\begin{aligned} \Delta x_{1}&=x_{1}-x_{0}=\tfrac{1}{2}-0=\tfrac{1}{2},\\[4pt] \Delta x_{2}&=x_{2}-x_{1}=\tfrac{5}{4}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{4}-\tfrac{2}{4}=\tfrac{3}{4},\\[4pt] \Delta x_{3}&=x_{3}-x_{2}=\tfrac{9}{4}-\tfrac{5}{4}=\tfrac{4}{4}=1,\\[4pt] \Delta x_{4}&=x_{4}-x_{3}=3-\tfrac{9}{4}=\tfrac{12}{4}-\tfrac{9}{4}=\tfrac{3}{4}. \end{aligned}]

Passo 4

Calcular os valores f(c_{i})=c_{i}^{2} para cada ponto amostral (mostrando as contas):
\begin{aligned} f(c_{1})&=\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}=\tfrac{1}{16},\\[4pt] f(c_{2})&=1^{2}=1,\\[4pt] f(c_{3})&=\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{9}{4},\\[4pt] f(c_{4})&=\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{25}{4}. \end{aligned}]

Passo 5

Multiplicar cada f(c_{i}) pela respectiva \Delta x_{i} para obter os termos da soma:
\begin{aligned} \text{Termo }1&=f(c_{1})\Delta x_{1}=\tfrac{1}{16}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{32},\\[4pt] \text{Termo }2&=f(c_{2})\Delta x_{2}=1\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{3}{4},\\[4pt] \text{Termo }3&=f(c_{3})\Delta x_{3}=\tfrac{9}{4}\cdot1=\tfrac{9}{4},\\[4pt] \text{Termo }4&=f(c_{4})\Delta x_{4}=\tfrac{25}{4}\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{75}{16}. \end{aligned}]

Passo 6

Somar os quatro termos calculados. Para somar com facilidade, passo tudo para denominador comum 32:
\begin{aligned} \tfrac{1}{32}+\tfrac{3}{4}+\tfrac{9}{4}+\tfrac{75}{16} &=\tfrac{1}{32}+\tfrac{24}{32}+\tfrac{72}{32}+\tfrac{150}{32}\\[4pt] &=\tfrac{1+24+72+150}{32}=\tfrac{247}{32}. \end{aligned}
Se quiser verificar em decimal, \tfrac{247}{32}=7{,}71875.]

Resposta

\dfrac{247}{32}

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