Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
\int \frac{\operatorname{sec} ^{3} 3 \sqrt{t}}{\sqrt{t}} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sec}^{3}\!\bigl(3\sqrt{t}\bigr)}{\sqrt{t}}\,dt.
Informações dadas (explicitadas para não nos perder):
  • A variável de integração é t.
  • O integrando é \dfrac{\operatorname{sec}^{3}\!\bigl(3\sqrt{t}\bigr)}{\sqrt{t}}.
  • É uma integral indefinida, então o resultado deve conter uma constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar uma substituição para simplificar a composição que aparece dentro do \operatorname{sec}. Defina
u = 3\sqrt{t} = 3 t^{1/2}.
Agora calculemos du em termos de dt. Derivando,
du = 3\cdot\frac{1}{2} t^{-1/2}\,dt = \frac{3}{2}\,t^{-1/2}\,dt.
Isolando t^{-1/2}\,dt temos
t^{-1/2}\,dt = \frac{2}{3}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral usando a substituição (peguei a expressão de u e a relação para t^{-1/2}\,dt do passo anterior):
\int \frac{\operatorname{sec}^{3}\!\bigl(3\sqrt{t}\bigr)}{\sqrt{t}}\,dt = \int \operatorname{sec}^{3}(u)\,t^{-1/2}\,dt = \int \operatorname{sec}^{3}(u)\cdot\frac{2}{3}\,du = \frac{2}{3}\int \operatorname{sec}^{3}(u)\,du.
Portanto basta calcular \displaystyle\int \operatorname{sec}^{3}(u)\,du e depois multiplicar por \dfrac{2}{3}.

Passo 4

Agora vamos calcular \displaystyle\int \operatorname{sec}^{3}(u)\,du. Este é um integral clássico que se resolve por integração por partes. Recordando a fórmula de integração por partes:
\int v\,dw = v w - \int w\,dv,
ou escrita usual,
\int p\,dq = p q - \int q\,dp,
onde escolhemos partes convenientemente.
Escolha:
p = \operatorname{sec}(u),\qquad dq = \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.
Então
dp = \operatorname{sec}(u)\tan(u)\,du,\qquad q = \tan(u).
Aplicando integração por partes:
\int \operatorname{sec}^{3}(u)\,du = \int \operatorname{sec}(u)\cdot\operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \operatorname{sec}(u)\tan(u) - \int \tan(u)\cdot\operatorname{sec}(u)\tan(u)\,du.
Simplifique o integrando restante usando \tan^{2}(u)=\operatorname{sec}^{2}(u)-1:
\int \operatorname{sec}^{3}(u)\,du = \operatorname{sec}(u)\tan(u) - \int \operatorname{sec}(u)\tan^{2}(u)\,du = \operatorname{sec}(u)\tan(u) - \int \operatorname{sec}(u)\bigl(\operatorname{sec}^{2}(u)-1\bigr)\,du.
Distribuindo:
\int \operatorname{sec}^{3}(u)\,du = \operatorname{sec}(u)\tan(u) - \int \operatorname{sec}^{3}(u)\,du + \int \operatorname{sec}(u)\,du.
Agora isolamos \displaystyle\int \operatorname{sec}^{3}(u)\,du:
2\int \operatorname{sec}^{3}(u)\,du = \operatorname{sec}(u)\tan(u) + \int \operatorname{sec}(u)\,du,
portanto
\int \operatorname{sec}^{3}(u)\,du = \frac{1}{2}\operatorname{sec}(u)\tan(u) + \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}(u)\,du.

Passo 5

Falta calcular \displaystyle\int \operatorname{sec}(u)\,du. Uma técnica padrão é multiplicar e dividir por \operatorname{sec}(u)+\tan(u):
\int \operatorname{sec}(u)\,du = \int \frac{\operatorname{sec}(u)\bigl(\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr)}{\operatorname{sec}(u)+\tan(u)}\,du = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}(u)+\operatorname{sec}(u)\tan(u)}{\operatorname{sec}(u)+\tan(u)}\,du.
Note que o numerador é exatamente a derivada do denominador:
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr)=\operatorname{sec}(u)\tan(u)+\operatorname{sec}^{2}(u).
Logo a integral é um logaritmo:
\int \operatorname{sec}(u)\,du = \ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr| + C.
Substituindo isso na expressão obtida no passo anterior:
\int \operatorname{sec}^{3}(u)\,du = \frac{1}{2}\operatorname{sec}(u)\tan(u) + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr| + C.

Passo 6

Voltando à integral original que virou \dfrac{2}{3}\int \operatorname{sec}^{3}(u)\,du, multiplicamos o resultado acima por \dfrac{2}{3}:
\frac{2}{3}\int \operatorname{sec}^{3}(u)\,du = \frac{2}{3}\left[\frac{1}{2}\operatorname{sec}(u)\tan(u) + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr|\right] + C.
Fazendo as contas \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}, obtemos
\frac{1}{3}\operatorname{sec}(u)\tan(u) + \frac{1}{3}\ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr| + C.
Finalmente, substituindo u=3\sqrt{t} de volta:
\boxed{\frac{1}{3}\operatorname{sec}\!\bigl(3\sqrt{t}\bigr)\tan\!\bigl(3\sqrt{t}\bigr) +\frac{1}{3}\ln\!\bigl|\operatorname{sec}\!\bigl(3\sqrt{t}\bigr)+\tan\!\bigl(3\sqrt{t}\bigr)\bigr|+C.}

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\operatorname{sec}\!\bigl(3\sqrt{t}\bigr)\tan\!\bigl(3\sqrt{t}\bigr) +\frac{1}{3}\ln\!\bigl|\operatorname{sec}\!\bigl(3\sqrt{t}\bigr)+\tan\!\bigl(3\sqrt{t}\bigr)\bigr|+C

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