Calcule as seguintes integrais. Use uma mudança de variáveis se preciso.
Passo 1
A gente tem que calcular a integral tripla
sobre a bola unitária. O conteúdo principal é usar coordenadas esféricas para simplificar a região e o integrando.
Passo 2
Vamos usar coordenadas esféricas, definidas por
,
,
e o elemento de volume
. Nesse caso os limites são
,
e
. A integral vira
Passo 3
Primeiro integramos em
e
:
logo o fator angular total é
Passo 4
Para resolver essa integral em
, fazemos a mudança de variável
Passo 5
Multiplicando pelo fator
, obtemos o valor final da integral.