Calcule as seguintes integrais. Use uma mudança de variáveis se preciso.

Passo 1

A gente tem que calcular a integral tripla integral-1^1integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2integral-raiz1-x^2-y^2^raiz1-x^2-y^2 e^(x^2+y^2+z^2)^3/2,dz,dy,dx sobre a bola unitária. O conteúdo principal é usar coordenadas esféricas para simplificar a região e o integrando.

Passo 2

Vamos usar coordenadas esféricas, definidas por x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta, z = rcosphi e o elemento de volume dV = r^2sinphi,dr,dphi,dtheta. Nesse caso os limites são rin[0,1], phiin[0,pi] e thetain[0,2pi]. A integral vira

Passo 3

Primeiro integramos em theta e phi:
integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^pisinphi,dphi = 2,
logo o fator angular total é 2pitimes2 = 4pi. Fica então
4pi integral0^1 e^r^3,r^2,dr

Passo 4

Para resolver essa integral em r, fazemos a mudança de variável
u = r^3, du = 3r^2,dr Longrightarrow r^2,dr = du3,com u variando de 0 a 1. Assim
integral0^1 e^r^3,r^2,dr = 13integral0^1 e^u,du = 13l[e^ur]0^1 = e-13

Passo 5

Multiplicando pelo fator 4pi, obtemos o valor final da integral.

Resposta

4pi3,(e-1)

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