Nos itens a seguir, calcule as inversas das transformadas de Laplace:
\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{5 s}{(s-2)^{3}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace da função racional no domínio de s:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{5s}{(s-2)^{3}}\right\}.
Informações dadas:
  • A função no domínio de Laplace é \dfrac{5s}{(s-2)^{3}}.
  • Não há outras restrições (assume-se t\ge0 para a função temporal resultante).
    O objetivo é obter a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{5s}{(s-2)^{3}}.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vamos usar): a transformada de Laplace de t^{n}e^{at} é
\mathcal{L}\{t^{n} e^{at}\}=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}},
onde n é um inteiro não-negativo, a é a constante do exponencial, e s é a variável complexa da transformada. Inversamente, para m inteiro positivo,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-a)^{m}}\right\}=\frac{t^{m-1} e^{at}}{(m-1)!}.
Vou usar essa segunda forma com a=2 e valores de m convenientes.

Passo 3

Antes de aplicar a fórmula, é conveniente reescrever a fração de forma que tenhamos termos do tipo \dfrac{1}{(s-2)^m}. Para isso, escrevo s como (s-2)+2. Então:
5s = 5\big((s-2)+2\big)=5(s-2)+10.
Substituindo na expressão dada:
\frac{5s}{(s-2)^3}=\frac{5(s-2)+10}{(s-2)^3}=\frac{5(s-2)}{(s-2)^3}+\frac{10}{(s-2)^3}.

Passo 4

Simplifico cada fração:
\frac{5(s-2)}{(s-2)^3}=\frac{5}{(s-2)^2}, \qquad \frac{10}{(s-2)^3}=\frac{10}{(s-2)^3}.
Portanto
\frac{5s}{(s-2)^3}=\frac{5}{(s-2)^2}+\frac{10}{(s-2)^3}.
Agora cada termo está no formato \dfrac{\text{constante}}{(s-2)^m}, pronto para aplicar \mathcal{L}^{-1}.

Passo 5

Aplico a fórmula inversa ao primeiro termo. Para m=2 e a=2,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-2)^2}\right\}=\frac{t^{2-1} e^{2t}}{(2-1)!}=t e^{2t}.
Como há fator 5 multiplicando, temos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{5}{(s-2)^2}\right\}=5\,t e^{2t}.

Passo 6

Aplico a fórmula inversa ao segundo termo. Para m=3 e a=2,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-2)^3}\right\}=\frac{t^{3-1} e^{2t}}{(3-1)!}=\frac{t^{2} e^{2t}}{2!}=\frac{t^{2} e^{2t}}{2}.
Multiplicando pelo coeficiente 10:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{10}{(s-2)^3}\right\}=10\cdot\frac{t^{2} e^{2t}}{2}=5\,t^{2} e^{2t}.

Passo 7

Somando os dois termos obtidos (linearidade da transformada inversa):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{5s}{(s-2)^3}\right\}=5\,t e^{2t}+5\,t^{2} e^{2t}.
Fatorando 5e^{2t} fica mais compacto:
5e^{2t}\big(t+t^{2}\big)=5t(1+t)e^{2t}.

Resposta

\;5\,e^{2t}\big(t+t^{2}\big)

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