Nos itens a seguir, calcule as inversas das transformadas de Laplace:
\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s+1)^{2}}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se a transformada inversa de Laplace da função racional
F(s)=\frac{s}{(s+1)^{2}}.
  • A variável de Laplace é \,s e a função no tempo que procuramos será f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, com t\ge 0.
  • Não há outras condições fornecidas, então assumimos a inversa usual para funções causais (região de convergência \operatorname{Re}(s)>-1).

Passo 2

Lembrando alguns pares básicos e propriedades úteis da transformada de Laplace (explicando o porquê):
  • Pares padrão:
    \mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\frac{1}{s+a},\qquad \text{para }\operatorname{Re}(s)>-a,
    onde a é uma constante real. Isso vem de integrar \int_{0}^{\infty}e^{-(s+a)t}\,dt.
  • Outro par útil:
    \mathcal{L}\{t e^{-a t}\}=\frac{1}{(s+a)^{2}},\qquad \text{para }\operatorname{Re}(s)>-a.
    Uma demonstração curta: calcular \int_{0}^{\infty} t e^{-(s+a)t}\,dt. Fazendo integração por partes com u=t, dv=e^{-(s+a)t}dt \dfrac{1}{(s+a)^{2}}. Esse resultado também é um caso do fato geral \int_0^\infty t^{n}e^{-bt}dt=\dfrac{n!}{b^{n+1}} (fórmula do Gamma).
  • Propriedade de linearidade: \mathcal{L}^{-1}\{A(s)+B(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}+\mathcal{L}^{-1}\{B(s)\}.
Vou usar esses pares para reconhecer termos da forma \dfrac{1}{s+1} e \dfrac{1}{(s+1)^2}.

Passo 3

Fazer uma decomposição algébrica simples para transformar F(s) em termos que reconhecemos:
Começo reescrevendo o numerador s como (s+1)-1. Assim
\frac{s}{(s+1)^{2}} = \frac{s+1}{(s+1)^{2}}-\frac{1}{(s+1)^{2}}.

Passo 4

Simplificar os dois termos obtidos:
\frac{s+1}{(s+1)^{2}}=\frac{1}{s+1}, \qquad \text{e} \qquad \frac{1}{(s+1)^{2}}\\ \text{permanece igual.}
Portanto
\frac{s}{(s+1)^{2}}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^{2}}.

Passo 5

Aplicar a transformada inversa termo a termo, usando os pares do Passo 2 e a linearidade:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+1}\right\}=e^{-t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s+1)^{2}}\right\}=t e^{-t}.
Logo, pela linearidade,
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{(s+1)^{2}}\right\}=e^{-t}-t e^{-t}.

Passo 6

Fazer uma escrita mais compacta e comentar o domínio:
Factorando e^{-t} obtemos
f(t)=(1-t)\,e^{-t},\qquad t\ge 0.
Pequeno comentário amigo: outra forma alternativa seria usar a propriedade \mathcal{L}\{t f(t)\}=-\dfrac{d}{ds}F(s) para identificar o termo em (s+1)^{-2}, mas a decomposição que fizemos é direta e costuma ser a mais rápida em provas — respira fundo, você mandou bem.

Resposta

(1-t)\,e^{-t},\\ t\ge 0

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