Nos itens a seguir, calcule as inversas das transformadas de Laplace:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se a transformada inversa de Laplace da função racional
- A variável de Laplace é
e a função no tempo que procuramos será , com . - Não há outras condições fornecidas, então assumimos a inversa usual para funções causais (região de convergência
).
Passo 2
Lembrando alguns pares básicos e propriedades úteis da transformada de Laplace (explicando o porquê):
-
Pares padrão:onde
é uma constante real. Isso vem de integrar . -
Outro par útil:Uma demonstração curta: calcular
. Fazendo integração por partes com , dá . Esse resultado também é um caso do fato geral (fórmula do Gamma). -
Propriedade de linearidade:
.
Vou usar esses pares para reconhecer termos da forma
e
.
Passo 3
Fazer uma decomposição algébrica simples para transformar
em termos que reconhecemos:
Começo reescrevendo o numerador
como
. Assim
Passo 4
Simplificar os dois termos obtidos:
Portanto
Passo 5
Aplicar a transformada inversa termo a termo, usando os pares do Passo 2 e a linearidade:
Logo, pela linearidade,
Passo 6
Fazer uma escrita mais compacta e comentar o domínio:
Factorando
obtemos
Pequeno comentário amigo: outra forma alternativa seria usar a propriedade
para identificar o termo em
, mas a decomposição que fizemos é direta e costuma ser a mais rápida em provas — respira fundo, você mandou bem.