Nos itens a seguir, calcule as transformadas de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede claramente para calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a transformar é
. - Não há outras condições explicitadas (assume-se a definição padrão de transformada de Laplace com integral de
a ).
Passo 2
Definição que vou usar (a base): a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é a variável complexa da transformada. Aqui:
-
é a variável do tempo (domínio original), -
é a variável da transformada (domínio complexo), - a integral só converge para valores de
com parte real suficientemente grande (isso será especificado depois).
Passo 3
Lembração útil (que vale a pena saber de cor para prova): a transformada de
é
válida para
. Vou mostrar rapidamente por que isso é verdade, fazendo a integral
Para calcular essa integral usa-se integração por partes duas vezes ou reconhecimento de forma. Faça assim (integração por partes resumida):
Integrando por partes duas vezes e resolvendo o sistema que aparece, chega-se ao resultado
desde que
para garantir decaimento exponencial e convergência da integral. (Na prova, decorar essa fórmula é prático.)
Passo 4
Propriedade de deslocamento na variável
(muito útil): para qualquer
real
onde
. Prova simples:
Observação sobre convergência: a região de convergência em
desloca-se de acordo com
; se
convergia para
, então
converge para
.
Passo 5
Aplicação direta ao problema: tomo
e
. Já sei que
então, pela propriedade de deslocamento,
Passo 6
Verificação rápida integrando diretamente (só para confirmar a forma): substituir na definição
Isso é exatamente a transformada de
avaliada em
, portanto resulta em
com convergência para
, isto é,
.
Passo 7
Dica rápida para a prova: memorize
e a regra de deslocamento
. Assim a resposta sai em um piscar de olhos.