Nos itens a seguir, calcule as transformadas de Laplace:
\mathcal{L}\left\{e^{t} \operatorname{sen} 3 t\right\}

Passo 1

O enunciado pede claramente para calcular a transformada de Laplace da função e^{t}\sin 3t.
Informações dadas:
  • A função a transformar é e^{t}\sin 3t.
  • Não há outras condições explicitadas (assume-se a definição padrão de transformada de Laplace com integral de 0 a \infty).

Passo 2

Definição que vou usar (a base): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada. Aqui:
  • t é a variável do tempo (domínio original),
  • s é a variável da transformada (domínio complexo),
  • a integral só converge para valores de s com parte real suficientemente grande (isso será especificado depois).

Passo 3

Lembração útil (que vale a pena saber de cor para prova): a transformada de \sin(bt) é
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{s^{2}+b^{2}},
válida para \operatorname{Re}(s)>0. Vou mostrar rapidamente por que isso é verdade, fazendo a integral
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(bt)\,dt.
Para calcular essa integral usa-se integração por partes duas vezes ou reconhecimento de forma. Faça assim (integração por partes resumida):
I=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(bt)\,dt.
Integrando por partes duas vezes e resolvendo o sistema que aparece, chega-se ao resultado
I=\frac{b}{s^{2}+b^{2}},
desde que \operatorname{Re}(s)>0 para garantir decaimento exponencial e convergência da integral. (Na prova, decorar essa fórmula é prático.)

Passo 4

Propriedade de deslocamento na variável s (muito útil): para qualquer a real
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}(s)=F(s-a),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s). Prova simples:
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}f(t)\,dt=F(s-a).
Observação sobre convergência: a região de convergência em s desloca-se de acordo com a; se F(s) convergia para \operatorname{Re}(s)>\sigma_0, então \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} converge para \operatorname{Re}(s)>\sigma_0+a.

Passo 5

Aplicação direta ao problema: tomo f(t)=\sin(3t) e a=1. Já sei que
\mathcal{L}\{\sin(3t)\}(s)=\frac{3}{s^{2}+9},
então, pela propriedade de deslocamento,
\mathcal{L}\{e^{t}\sin(3t)\}(s)=\frac{3}{(s-1)^{2}+9}.

Passo 6

Verificação rápida integrando diretamente (só para confirmar a forma): substituir na definição
\mathcal{L}\{e^{t}\sin 3t\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{t}\sin 3t\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-1)t}\sin 3t\,dt.
Isso é exatamente a transformada de \sin 3t avaliada em s-1, portanto resulta em
\frac{3}{(s-1)^{2}+9},
com convergência para \operatorname{Re}(s-1)>0, isto é, \operatorname{Re}(s)>1.

Passo 7

Dica rápida para a prova: memorize \mathcal{L}\{\sin(bt)\}=\dfrac{b}{s^{2}+b^{2}} e a regra de deslocamento \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a). Assim a resposta sai em um piscar de olhos.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{t}\sin 3t\}(s)=\frac{3}{(s-1)^{2}+9}

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