Nos itens a seguir, calcule as inversas das transformadas de Laplace:
\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+2 s+5}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a inversa da transformada de Laplace da função
\frac{1}{s^{2}+2s+5}.
Ou seja: calcular \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}+2s+5}\right\}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser invertida é \dfrac{1}{s^{2}+2s+5}.
  • Não há outras condições explícitas; assume-se a convenção padrão de Laplace com t\ge 0.

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: completar o quadrado no denominador para reconhecer uma forma padrão. Faço isso assim:
s^{2}+2s+5 = (s^{2}+2s+1)+4 = (s+1)^{2}+4.
Portanto a função pode ser reescrita como
\frac{1}{s^{2}+2s+5} = \frac{1}{(s+1)^{2}+4}.

Passo 3

Agora vou lembrar as transformadas de Laplace padrão (essas são as ferramentas que uso para inverter):
\mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(bt)\} = \frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}},
\mathcal{L}\{e^{-a t}\sin(bt)\} = \frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.
Explicando as variáveis:
  • t é a variável do tempo (onde a função invertida viverá).
  • s é a variável complexa da transformada de Laplace.
  • a e b são constantes que aparecem deslocando e escalando a forma quadrática no denominador.
    Essas fórmulas são muito úteis quando o denominador tem a forma (s+a)^{2}+b^{2}, exatamente o que obtivemos no passo anterior com a=1 e b=2.

Passo 4

Quero escrever \dfrac{1}{(s+1)^{2}+4} como combinação linear das formas que aparecem nas fórmulas acima, ou seja, combinar \dfrac{s+1}{(s+1)^{2}+4} e \dfrac{2}{(s+1)^{2}+4}. Procuro constantes A e B tais que
\frac{1}{(s+1)^{2}+4} = A\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4} + B\cdot\frac{2}{(s+1)^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)^{2}+4
1 = A(s+1) + 2B.
Essa identidade em s exige que o coeficiente de s à direita seja zero e o termo constante seja 1. Assim:
  • Coeficiente de s: A = 0.
  • Termo constante: A\cdot 1 + 2B = 1 \Rightarrow 0 + 2B = 1 \Rightarrow B=\tfrac{1}{2}.
Logo
\frac{1}{(s+1)^{2}+4} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{(s+1)^{2}+4}.

Passo 5

Uso agora a linearidade da transformada inversa: \mathcal{L}^{-1} age termo a termo e constantes saem fora. Assim
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{2}+4}\right\} = \frac{1}{2}\,\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{(s+1)^{2}+4}\right\}.
Pela fórmula padrão vista no Passo 3, com a=1 e b=2, sabe-se que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{(s+1)^{2}+4}\right\} = e^{-t}\sin(2t).
Portanto a inversa da nossa função é \tfrac{1}{2} vezes essa função.

Passo 6

Interpretação física/intuitiva rápida (para fixar): a função invertida será um seno de frequência 2 multiplicado por um decaimento exponencial e^{-t}, ou seja, uma oscilação amortecida — característica comum quando o pólo da transformada está deslocado para a esquerda em s-plano (aqui em -1) e com parte imaginária \pm 2.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}e^{-t}\sin(2t)

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