Nos itens a seguir, calcule as inversas das transformadas de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede a inversa da transformada de Laplace da função
Ou seja: calcular
.
Informações dadas:
- A expressão a ser invertida é
. - Não há outras condições explícitas; assume-se a convenção padrão de Laplace com
.
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: completar o quadrado no denominador para reconhecer uma forma padrão. Faço isso assim:
Portanto a função pode ser reescrita como
Passo 3
Agora vou lembrar as transformadas de Laplace padrão (essas são as ferramentas que uso para inverter):
Explicando as variáveis:
-
é a variável do tempo (onde a função invertida viverá). -
é a variável complexa da transformada de Laplace. -
e são constantes que aparecem deslocando e escalando a forma quadrática no denominador.
Essas fórmulas são muito úteis quando o denominador tem a forma, exatamente o que obtivemos no passo anterior com e .
Passo 4
Quero escrever
como combinação linear das formas que aparecem nas fórmulas acima, ou seja, combinar
e
. Procuro constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
dá
Essa identidade em
exige que o coeficiente de
à direita seja zero e o termo constante seja 1. Assim:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
Logo
Passo 5
Uso agora a linearidade da transformada inversa:
age termo a termo e constantes saem fora. Assim
Pela fórmula padrão vista no Passo 3, com
e
, sabe-se que
Portanto a inversa da nossa função é
vezes essa função.
Passo 6
Interpretação física/intuitiva rápida (para fixar): a função invertida será um seno de frequência
multiplicado por um decaimento exponencial
, ou seja, uma oscilação amortecida — característica comum quando o pólo da transformada está deslocado para a esquerda em
-plano (aqui em
) e com parte imaginária
.