Nos itens a seguir, calcule as inversas das transformadas de Laplace:
\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2)^{3}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função:
\frac{1}{(s+2)^{3}}.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A função no domínio de Laplace é \dfrac{1}{(s+2)^{3}}.
  • É necessário encontrar a função no domínio do tempo cujo operador de Laplace é essa expressão.
    Não se pede mais nada; a resposta deve ser a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{1}{(s+2)^{3}}.

Passo 2

Lembrando uma relação padrão (vai ser a ferramenta principal): para um inteiro n\ge0 vale
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}}.
Explicando isso de forma simples: a transformada de Laplace de t^{n} é a integral
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st} t^{n}\,dt,
essa integral é conhecida e resulta em n!/s^{n+1}. Aqui n! (fatorial) é o produto n\cdot(n-1)\cdots1.

Passo 3

Aplicando a fórmula do passo anterior com n=2 (porque n+1=3 aparecerá no denominador), obtemos
\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}.
Assim, a transformada inversa de \dfrac{1}{s^{3}} é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{3}}\right\}=\frac{t^{2}}{2!}=\frac{t^{2}}{2}.

Passo 4

Agora usamos o teorema do deslocamento em s (teorema de translação): se
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s),
então
\mathcal{L}\{e^{-a t}f(t)\}=F(s+a).
Isto significa que, para obter a inversa de F(s+a), basta tomar e^{-a t}f(t), onde f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.

Passo 5

Identificamos na nossa expressão que \dfrac{1}{(s+2)^{3}} é a forma F(s+2) com F(s)=\dfrac{1}{s^{3}} e a=2. Pelo passo 3, \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\dfrac{t^{2}}{2}. Aplicando o teorema do deslocamento, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+2)^{3}}\right\}=e^{-2t}\cdot\frac{t^{2}}{2}.
Podemos escrever de forma limpa como
\frac{1}{2}\,t^{2}e^{-2t}.

Resposta

\dfrac{1}{2}\,t^{2}e^{-2t}

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