Nos itens a seguir, calcule as transformadas de Laplace:
\mathcal{L}\left\{e^{-2 t} \cos 4 t\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.\n
  • Pede-se calcular a transformada de Laplace da função \;e^{-2 t}\cos 4 t\;.
  • Informação dada: a função do tempo é \;f(t)=e^{-2 t}\cos 4 t\; definida para t\ge0.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e explicação do que cada símbolo significa.\n
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral deve convergir para certos valores de s.
  • Interpretação: multiplica-se f(t) por e^{-s t} e integra-se de 0 a \infty; o resultado é uma função de s.
  • Para existir a transformada, precisa haver decaimento suficiente para que a integral imprópria convirja; isso define a região de convergência em s.

Passo 3

Propriedade do deslocamento exponencial (fórmula útil e motivo).\n
  • Se g(t) tem transformada \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=G(s), então para qualquer constante a vale a propriedade
\mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=G(s-a).
  • Explicação rápida do porquê: na definição,
\mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t} g(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} g(t)\,dt=G(s-a).
  • No nosso caso a=-2, porque e^{-2t}=e^{(-2)t}. Logo, se soubermos \mathcal{L}\{\cos 4t\}(s), basta substituir s por s-(-2)=s+2.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{\cos 4t\}(s) (fórmula padrão com demonstração rápida).\n
  • Calcular pela integral ou usando exponencial complexa: escrevemos
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(4t)\,dt=\Re\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i4)t}\,dt\right).
  • A integral geométrica é
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i4)t}\,dt=\frac{1}{s-i4}\quad\text{desde que }\Re(s)>0.
  • Tomando a parte real:
\Re\!\left(\frac{1}{s-i4}\right)=\Re\!\left(\frac{s+i4}{s^{2}+16}\right)=\frac{s}{s^{2}+16}.
  • Portanto
\mathcal{L}\{\cos 4t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+16},\qquad \text{para }\Re(s)>0.

Passo 5

Aplicar a propriedade do deslocamento exponencial ao nosso caso.\n
  • Usando a propriedade do Passo 3 com a=-2, temos
\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos 4t\}(s)=\mathcal{L}\{\cos 4t\}(s+2).
  • Substituindo a expressão do Passo 4:
\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos 4t\}(s)=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+16}.

Passo 6

Simplificar e indicar a região de convergência (ROC).\n
  • Podemos deixar a resposta na forma deslocada ou expandir o denominador. Expandindo:
(s+2)^{2}+16=s^{2}+4s+4+16=s^{2}+4s+20.
  • A região de convergência vem da condição \Re(s+2)>0 (pois \cos4t exigia \Re(\cdot)>0), isto é
\Re(s)>-2.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos 4t\}(s)=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+16}=\frac{s+2}{s^{2}+4s+20}
\text{Região de convergência: }\Re(s)>-2ãê

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