Nos itens a seguir, calcule as transformadas de Laplace:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.\n
- Pede-se calcular a transformada de Laplace da função
. - Informação dada: a função do tempo é
definida para .
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e explicação do que cada símbolo significa.\n
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é uma variável complexa e a integral deve convergir para certos valores de
.
- Interpretação: multiplica-se
por e integra-se de a ; o resultado é uma função de . - Para existir a transformada, precisa haver decaimento suficiente para que a integral imprópria convirja; isso define a região de convergência em
.
Passo 3
Propriedade do deslocamento exponencial (fórmula útil e motivo).\n
- Se
tem transformada , então para qualquer constante vale a propriedade
- Explicação rápida do porquê: na definição,
- No nosso caso
, porque . Logo, se soubermos , basta substituir por .
Passo 4
Calcular
(fórmula padrão com demonstração rápida).\n
- Calcular pela integral ou usando exponencial complexa: escrevemos
- A integral geométrica é
- Tomando a parte real:
- Portanto
Passo 5
Aplicar a propriedade do deslocamento exponencial ao nosso caso.\n
- Usando a propriedade do Passo 3 com
, temos
- Substituindo a expressão do Passo 4:
Passo 6
Simplificar e indicar a região de convergência (ROC).\n
- Podemos deixar a resposta na forma deslocada ou expandir o denominador. Expandindo:
- A região de convergência vem da condição
(pois exigia ), isto é