Nos itens a seguir, calcule as inversas das transformadas de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede a inversa da transformada de Laplace
Informações dadas:
- A função no domínio de
é . - Deve-se encontrar a função de
cuja transformada de Laplace é essa expressão.
Não há outras condições explícitas; assumimos a convenção usual de transformada de Laplace para.
Passo 2
Primeiro simplificar o denominador completando o quadrado (é um passo algébrico básico que facilita reconhecer formas padrão):
Portanto a expressão fica
Passo 3
Vou recordar duas fórmulas padrão de transformada de Laplace (essenciais para inverter):
onde
é a frequência angular da função seno, e
ou seja, multiplicar por
em
-espaço corresponde a deslocar
para
na imagem; aqui
.
Explicando as variáveis:
-
é a variável de tempo (onde queremos a função inversa). -
é a variável do domínio da transformada de Laplace. -
é o deslocamento exponencial (no nosso caso será ). -
é a frequência do seno (no nosso caso será ).
Passo 4
Compare a forma encontrada
com a forma padrão
. Aqui identificamos:
porque para
a forma padrão é
.
Passo 5
Usando as fórmulas do Passo 3: como
então aplicando o deslocamento
(equivalente a multiplicar por
em
-espaço) temos
Com
e
obtemos exatamente
Portanto a inversa é a função
(para
).