Nos itens a seguir, calcule as inversas das transformadas de Laplace:
\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}-6 s+10}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a inversa da transformada de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}-6 s+10}\right\}.
Informações dadas:
  • A função no domínio de s é \dfrac{1}{s^{2}-6 s+10}.
  • Deve-se encontrar a função de t cuja transformada de Laplace é essa expressão.
    Não há outras condições explícitas; assumimos a convenção usual de transformada de Laplace para t\ge 0.

Passo 2

Primeiro simplificar o denominador completando o quadrado (é um passo algébrico básico que facilita reconhecer formas padrão):
s^{2}-6s+10 = s^{2}-6s+9+1 = (s-3)^{2}+1.
Portanto a expressão fica
\frac{1}{s^{2}-6 s+10} = \frac{1}{(s-3)^{2}+1}.

Passo 3

Vou recordar duas fórmulas padrão de transformada de Laplace (essenciais para inverter):
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}=\frac{b}{s^{2}+b^{2}},
onde b>0 é a frequência angular da função seno, e
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a),
ou seja, multiplicar por e^{at} em t-espaço corresponde a deslocar s para s-a na imagem; aqui F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.
Explicando as variáveis:
  • t é a variável de tempo (onde queremos a função inversa).
  • s é a variável do domínio da transformada de Laplace.
  • a é o deslocamento exponencial (no nosso caso será 3).
  • b é a frequência do seno (no nosso caso será 1).

Passo 4

Compare a forma encontrada
\frac{1}{(s-3)^{2}+1}
com a forma padrão \dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}. Aqui identificamos:
a=3,\qquad b=1,
porque para b=1 a forma padrão é \dfrac{1}{(s-a)^{2}+1}.

Passo 5

Usando as fórmulas do Passo 3: como
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}=\frac{b}{s^{2}+b^{2}},
então aplicando o deslocamento s\mapsto s-a (equivalente a multiplicar por e^{at} em t-espaço) temos
\mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Com a=3 e b=1 obtemos exatamente
\mathcal{L}\{e^{3t}\sin t\}=\frac{1}{(s-3)^{2}+1}.
Portanto a inversa é a função e^{3t}\sin t (para t\ge 0).

Resposta

\displaystyle e^{3t}\sin t

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