Nos itens a seguir, calcule (f^-1)^prime(d).
(c) f(x)=3 x-2x+2 ; d=2.

Passo 1

Temos a função f(x)=3x-2x+2 e queremos calcular (f^-1)'(d) para d=2. O conteúdo envolve a derivada de função inversa e vamos precisar encontrar o ponto x tal que f(x)=d e depois usar a fórmula (f^-1)'(d)=1f'(x).

Passo 2

Para encontrar o valor de f^-1(2), resolvemos a equação f(x)=2.
[\frac{3x - 2}{x + 2} = 2 \implies 3x - 2 = 2x + 4 \implies x = 6]
Logo, f^-1(2)=6.

Passo 3

O próximo passo é calcular a derivada de f(x) usando a regra do quociente. Aplicando, obtemos:
[f’(x)=\frac{3(x+2)-(3x-2)\cdot1}{(x+2)2}=\frac{8}{(x+2)2}]

Passo 4

Substituindo x=6 em f'(x), temos:
[f’(6)=\frac{8}{(6+2)^2}=\frac{8}{64}=\frac{1}{8}]

Passo 5

Agora usamos a fórmula da derivada da inversa no ponto d=2:
[(f^{-1})’(2)=\frac{1}{f’(6)}=\frac{1}{1/8}]

Resposta

8

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