Nos itens a seguir, calcule
.
.
Passo 1
Temos a função
e queremos calcular
para
. O conteúdo envolve a derivada de função inversa e vamos precisar encontrar o ponto
tal que
e depois usar a fórmula
.
Passo 2
Para encontrar o valor de
, resolvemos a equação
.
[\frac{3x - 2}{x + 2} = 2 \implies 3x - 2 = 2x + 4 \implies x = 6]
Logo,
.
Passo 3
O próximo passo é calcular a derivada de
usando a regra do quociente. Aplicando, obtemos:
[f’(x)=\frac{3(x+2)-(3x-2)\cdot1}{(x+2)2}=\frac{8}{(x+2)2}]
Passo 4
Substituindo
em
, temos:
[f’(6)=\frac{8}{(6+2)^2}=\frac{8}{64}=\frac{1}{8}]
Passo 5
Agora usamos a fórmula da derivada da inversa no ponto
:
[(f^{-1})’(2)=\frac{1}{f’(6)}=\frac{1}{1/8}]
Resposta
8