Resolva os PVIs sabendo que são EDOs exatas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que são exatas. O enunciado nos dá uma equação na forma:
E também nos informa que $ y(0) = \pi $.
O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente EDOs exatas. Vamos precisar identificar uma função potencial $ F(x, y) $ tal que:
Vamos seguir os passos para encontrar essa função $ F $ e, finalmente, a solução da EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a primeira equação em relação a $ x $ para encontrar $ F(x, y) $. Ou seja:
Vamos integrar termo a termo:
- Integração de $ y \cos x $ em relação a $ x $:
Aqui, $ y $ é tratado como uma constante em relação a $ x $, e $ C_1(y) $ é uma função que pode depender de $ y $.
- Integração de $ 2x e^{y} $ em relação a $ x $:
Juntando as duas integrais:
Onde $ C(y) = C_1(y) + C_2(y) $ é uma função geral de $ y $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função $ C(y) $. Para isso, usamos a segunda equação da derivada parcial de $ F $:
Calculando a derivada de $ F(x, y) $ em relação a $ y $:
Igualando às duas expressões para $ \frac{\partial F}{\partial y} $:
Simplificando:
Integrando ambos os lados em relação a $ y $:
Onde $ C $ é uma constante.
Passo 4
Agora, substituímos $ C(y) $ de volta na expressão de $ F(x, y) $:
Como estamos lidando com equações diferenciais exatas, podemos considerar $ C = 0 $ para simplificar, então:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = \pi $ para encontrar o valor da constante.
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = \pi $ na expressão de $ F(x, y) $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos a equação geral da solução:
Podemos rearranjar para:
Essa é a solução implícita da EDO dada.
Resposta
A solução da equação diferencial exata dada, que satisfaz a condição inicial $ y(0) = \pi $, é: