Resolva os PVIs sabendo que são EDOs exatas.
l(y cos x+2 x e^y) d x+(sen x+x^2 e^y-1) d y=0 y(0)=pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que são exatas. O enunciado nos dá uma equação na forma:
(y cos x + 2x e^y) dx + (sin x + x^2 e^y - 1) dy = 0
E também nos informa que $ y(0) = \pi $.
O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente EDOs exatas. Vamos precisar identificar uma função potencial $ F(x, y) $ tal que:
y(0) = pi
F(x, y)
Vamos seguir os passos para encontrar essa função $ F $ e, finalmente, a solução da EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a primeira equação em relação a $ x $ para encontrar $ F(x, y) $. Ou seja:
x
Vamos integrar termo a termo:
  1. Integração de $ y \cos x $ em relação a $ x $:
F(x, y)
Aqui, $ y $ é tratado como uma constante em relação a $ x $, e $ C_1(y) $ é uma função que pode depender de $ y $.
  1. Integração de $ 2x e^{y} $ em relação a $ x $:
F(x, y) = integral (y cos x + 2x e^y) dx
Juntando as duas integrais:
y cos x
Onde $ C(y) = C_1(y) + C_2(y) $ é uma função geral de $ y $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função $ C(y) $. Para isso, usamos a segunda equação da derivada parcial de $ F $:
C(y)
Calculando a derivada de $ F(x, y) $ em relação a $ y $:
F
Igualando às duas expressões para $ \frac{\partial F}{\partial y} $:
partial Fpartial y = sin x + x^2 e^y - 1
Simplificando:
F(x, y)
Integrando ambos os lados em relação a $ y $:
y
Onde $ C $ é uma constante.

Passo 4

Agora, substituímos $ C(y) $ de volta na expressão de $ F(x, y) $:
C(y)
Como estamos lidando com equações diferenciais exatas, podemos considerar $ C = 0 $ para simplificar, então:
F(x, y)

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = \pi $ para encontrar o valor da constante.
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = \pi $ na expressão de $ F(x, y) $:
y(0) = pi
Simplificando:
x = 0

Passo 6

Agora, temos a equação geral da solução:
y sin x + e^y x^2 - y = -pi
Podemos rearranjar para:
y (sin x - 1) + e^y x^2 = -pi
Essa é a solução implícita da EDO dada.

Resposta

A solução da equação diferencial exata dada, que satisfaz a condição inicial $ y(0) = \pi $, é:
y(0) = pi

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