Use o Teorema da Função Inversa para mostrar que
(arcsec(x))^prime=1x raizx^2-1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de arcsec(x) usando o Teorema da Função Inversa. O conteúdo é derivada de função inversa e vamos precisar lembrar que se y=f^-1(x), então y'=1/f'(y).

Passo 2

Como arcsec(x) é a inversa de sec(y), definimos y=arcsec(x). Isso implica que
sec(y)=x

Passo 3

Agora diferenciamos os dois lados em relação a x. Pela regra da cadeia, temos
ddxl(sec(y)r)=ddx(x)Longrightarrowsec(y)tan(y),y'=1

Passo 4

Isolando y', obtemos
y'=1sec(y)tan(y)

Passo 5

Falta expressar sec(y) e tan(y) em função de x. Já sabemos que sec(y)=x. Usamos a identidade trigonométrica
tan^2(y)+1=sec^2(y)Longrightarrowtan(y)=raizsec^2(y)-1=raizx^2-1

Passo 6

Substituindo na expressão de y', fica
y'=1x,raizx^2-1

Resposta

(arcsec(x))'=1xraizx^2-1

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