Resolva os PVIs sabendo que são EDOs lineares.
l(e^-x-4 x^2 y) d x-x^3 d y=0 y(-1)=e

Passo 1

Temos a equação (e^-x - 4 x^2 y),dx - x^3,dy = 0 com condição inicial y(-1)=e. Isso é uma EDO linear de primeira ordem em y(x) e vamos resolvê-la usando o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma explícita:
(e^-x - 4 x^2 y),dx = x^3,dy
dydx = e^-x - 4 x^2 yx^3 Longrightarrow dydx + 4xy = e^-xx^3
Isso coloca a EDO no formato padrão dydx + P(x)y = Q(x).

Passo 3

Identificamos P(x)=4/x e Q(x)=e^-x/x^3. Calculamos o fator integrante:
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral 4xdxr) = e^4ln|x| = x^4

Passo 4

Multiplicamos a EDO original por mu(x)=x^4 e reconhecemos o lado esquerdo como derivada:
x^4dydx + 4x^3y = x e^-x,
o que equivale a
ddx(x^4y) = x e^-x
Agora integramos ambos os lados. Para integral x e^-xdx usamos integração por partes com u = x e dv = e^-xdx, sendo
integral x e^-xdx = - (x+1)e^-x + C
Logo obtemos
x^4y = - (x+1)e^-x + C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(-1)=e:
(-1)^4 cdot e = -((-1)+1)e^-(-1) + C Longrightarrow e = C
Então C = e.

Passo 6

A solução particular fica
y(x) = - (x+1)e^-x + ex^4 = e - (x+1)e^-xx^4

Resposta

y(x) = e - (x+1)e^-xx^4.

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