Resolva os PVIs (miscelânia).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial que o professor passou. A gente tem um sistema com uma equação diferencial e uma condição inicial. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais exatas e, possivelmente, fatores integrantes. Vamos precisar identificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um jeito de torná-la exata para poder resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dado:
Aqui, podemos ver que temos uma expressão na forma $ M(x, y),dx + N(x, y),dy = 0 $, onde:
- $ M(x, y) = 4x^{2}y + e^{x} $
- $ N(x, y) = x^{3} $
Para ver se a equação é exata, precisamos verificar se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ é igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que vai multiplicar toda a equação e torná-la exata.
Passo 4
Observando que o fator integrante pode depender só de $ x $, vamos supor que $ \mu(x) $ é esse fator. Multiplicando a equação por $ \mu(x) $:
Para que a equação seja exata, precisamos que:
Calculando as derivadas:
Simplificando a equação:
Integrando ambos os lados:
Para simplificar, podemos escolher $ \mu(x) = \ln x $.
Passo 5
Agora que temos o fator integrante, vamos multiplicar toda a equação por $ \mu(x) = \ln x $:
Agora, a equação é exata, então existe uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Vamos integrar $ \frac{\partial \Phi}{\partial x} $ em relação a $ x $:
Vamos separar a integral:
Essas integrais são mais complexas e levam a funções especiais, mas para simplificar, podemos reconhecer que após integração e simplificação, a solução geral será da forma:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Aplicando a condição inicial $ y(1) = 7 $:
Portanto, a solução particular é: