Nos itens a seguir, calcule as transformadas de Laplace:
\mathcal{L}\left\{t e^{2 t} \operatorname{sen} 6 t\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
\;t e^{2t}\sin 6t\;.
Informações dadas: a função dependente do tempo é \;f(t)=t e^{2t}\sin 6t\; e a variável da transformada é s.
O objetivo é encontrar \displaystyle \mathcal{L}\{t e^{2t}\sin 6t\}(s).

Passo 2

Vou apresentar duas propriedades da transformada de Laplace que vou usar — explicadas passo a passo para você entender e poder aplicar na prova.
Propriedade A (deslocamento no domínio s, “shift”): se \displaystyle F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt, então
\mathcal{L}\{e^{a t} f(t)\}(s)=F(s-a).
Explicação rápida (intuição formal): ao calcular \int_0^\infty e^{-st} e^{at} f(t)\,dt=\int_0^\infty e^{-(s-a)t} f(t)\,dt reconhece-se exatamente F(s-a). Atenção à região de convergência: se F(s) converge para \Re(s)>\sigma_0, então \mathcal{L}\{e^{a t} f(t)\}(s) converge para \Re(s)>\sigma_0+a.
Propriedade B (multiplicação por t corresponde a derivar em s): se \displaystyle F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s) e certas condições de regularidade valem, então
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s) = -\frac{d}{ds}F(s).
Explicação (por que funciona): na definição F(s)=\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt, ao derivar em s porbaixo do sinal de integral surge \frac{d}{ds}e^{-st} = -t e^{-st}. Assim \frac{d}{ds}F(s)=\int_0^\infty -t e^{-st} f(t)\,dt, daí a identidade acima. Isso é extremamente útil na prova porque transforma multiplicação por t em uma derivada (operacional e mais simples que integrar diretamente).

Passo 3

Vou calcular primeiro a transformada básica de \sin 6t. A fórmula padrão (que pode ser obtida por integração por partes ou usando exponenciais complexas) é
\mathcal{L}\{\sin \omega t\}(s)=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}.
Aqui \omega=6. Portanto, chamando
F(s)=\mathcal{L}\{\sin 6t\}(s),
temos
F(s)=\frac{6}{s^{2}+36}.
Breve comentário sobre as variáveis: s é a variável da transformada, \omega é a frequência da função seno; no resultado s^{2}+\omega^{2} aparece no denominador.

Passo 4

Agora aplico a Propriedade A (deslocamento) para obter a transformada de e^{2t}\sin 6t. Pela propriedade,
\mathcal{L}\{e^{2t}\sin 6t\}(s) = F(s-2).
Substituindo F:
\mathcal{L}\{e^{2t}\sin 6t\}(s) = \frac{6}{(s-2)^{2}+36}.
Observação sobre convergência: como \mathcal{L}\{\sin 6t\} converge para \Re(s)>0, a transformada deslocada converge para \Re(s)>2.

Passo 5

Agora uso a Propriedade B para tratar o fator t. Queremos \mathcal{L}\{t e^{2t}\sin 6t\}(s). Pela propriedade,
\mathcal{L}\{t e^{2t}\sin 6t\}(s) = -\frac{d}{ds}\left[\mathcal{L}\{e^{2t}\sin 6t\}(s)\right].
Já temos \mathcal{L}\{e^{2t}\sin 6t\}(s)=\dfrac{6}{(s-2)^{2}+36}. Vamos derivar essa função em s passo a passo.
Defina
g(s)=(s-2)^{2}+36.
Então a função a derivar é \dfrac{6}{g(s)}. A derivada é, usando a regra do quociente ou da cadeia:
\frac{d}{ds}\left(\frac{6}{g(s)}\right) = -6\frac{g'(s)}{g(s)^{2}}.
Calcule g'(s):
g'(s)=2(s-2).
Portanto
\frac{d}{ds}\left(\frac{6}{(s-2)^{2}+36}\right) = -6\cdot\frac{2(s-2)}{\big((s-2)^{2}+36\big)^{2}} = -\frac{12(s-2)}{\big((s-2)^{2}+36\big)^{2}}.

Passo 6

Voltando à identitade com o sinal negativo:
\mathcal{L}\{t e^{2t}\sin 6t\}(s) = -\frac{d}{ds}\left[\frac{6}{(s-2)^{2}+36}\right].
Substituindo a derivada que encontramos:
\mathcal{L}\{t e^{2t}\sin 6t\}(s) = -\left(-\frac{12(s-2)}{\big((s-2)^{2}+36\big)^{2}}\right) = \frac{12(s-2)}{\big((s-2)^{2}+36\big)^{2}}.
Portanto a transformada fica nessa forma simplificada. Lembre-se que a região de convergência é \Re(s)>2.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t e^{2t}\sin 6t\}(s)=\frac{12(s-2)}{\big((s-2)^{2}+36\big)^{2}}

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