Nos itens a seguir, calcule as transformadas de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função dependente do tempo é e a variável da transformada é
.
O objetivo é encontrar .
Informações dadas: a função dependente do tempo é
O objetivo é encontrar
Passo 2
Vou apresentar duas propriedades da transformada de Laplace que vou usar — explicadas passo a passo para você entender e poder aplicar na prova.
Propriedade A (deslocamento no domínio
, “shift”): se
, então
Explicação rápida (intuição formal): ao calcular
reconhece-se exatamente
. Atenção à região de convergência: se
converge para
, então
converge para
.
Propriedade B (multiplicação por
corresponde a derivar em
): se
e certas condições de regularidade valem, então
Explicação (por que funciona): na definição
, ao derivar em
porbaixo do sinal de integral surge
. Assim
, daí a identidade acima. Isso é extremamente útil na prova porque transforma multiplicação por
em uma derivada (operacional e mais simples que integrar diretamente).
Passo 3
Vou calcular primeiro a transformada básica de
. A fórmula padrão (que pode ser obtida por integração por partes ou usando exponenciais complexas) é
Aqui
. Portanto, chamando
temos
Breve comentário sobre as variáveis:
é a variável da transformada,
é a frequência da função seno; no resultado
aparece no denominador.
Passo 4
Agora aplico a Propriedade A (deslocamento) para obter a transformada de
. Pela propriedade,
Substituindo
:
Observação sobre convergência: como
converge para
, a transformada deslocada converge para
.
Passo 5
Agora uso a Propriedade B para tratar o fator
. Queremos
. Pela propriedade,
Já temos
. Vamos derivar essa função em
passo a passo.
Defina
Então a função a derivar é
. A derivada é, usando a regra do quociente ou da cadeia:
Calcule
:
Portanto
Passo 6
Voltando à identitade com o sinal negativo:
Substituindo a derivada que encontramos:
Portanto a transformada fica nessa forma simplificada. Lembre-se que a região de convergência é
.