Nos itens a seguir, calcule as transformadas de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a transformar é
. - Queremos
.
Passo 2
Lembrete da definição e das propriedades que vamos usar (explicação curta e prática):
- Definição da transformada de Laplace:
. Aqui é a variável complexa da transformada. - Propriedade da multiplicação por
(derivada em ): se então
Explicação rápida: multiplicar por
na integral corresponde a diferenciar em relação a
, daí aparece o operador
.
- Propriedade do deslocamento exponencial (shifting): se
então, para qualquer constante ,
Explicação:
.
Passo 3
Vamos primeiro calcular a transformada de
. A fórmula conhecida (pode também ser obtida pela integral) é
Aqui
. Esta é a função
que vamos manipular.
Passo 4
Agora usamos a propriedade do multiplicador
. Se
então
Calculamos a derivada passo a passo. Seja
. Usando a regra do quociente:
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos o deslocamento exponencial para incluir o fator
. Aqui
(pois
com
). A propriedade diz que substituímos
por
, isto é
. Logo, se chamarmos
temos
Passo 6
Simplificamos a expressão obtida:
e
Portanto a transformada final fica
Também é útil saber a região de convergência: como a transformada original de
converge para
, após o deslocamento por
a condição torna-se
.