Nos itens a seguir, calcule as transformadas de Laplace:
\mathcal{L}\left\{t e^{-3 t} \cos 3 t\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \,t e^{-3t}\cos 3t\,.
Informações dadas:
  • A função a transformar é \,f(t)=t e^{-3t}\cos 3t\,.
  • Queremos \mathcal{L}\{f\}(s).

Passo 2

Lembrete da definição e das propriedades que vamos usar (explicação curta e prática):
  • Definição da transformada de Laplace: \displaystyle \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} g(t)\,dt. Aqui s é a variável complexa da transformada.
  • Propriedade da multiplicação por t (derivada em s): se G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s) então
\mathcal{L}\{t\,g(t)\}(s) = -\frac{d}{ds}G(s).
Explicação rápida: multiplicar por t na integral corresponde a diferenciar em relação a -s, daí aparece o operador -d/ds.
  • Propriedade do deslocamento exponencial (shifting): se G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s) então, para qualquer constante a,
\mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s) = G(s-a).
Explicação: \mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=\int_0^\infty e^{-st}e^{at}g(t)\,dt=\int_0^\infty e^{-(s-a)t}g(t)\,dt=G(s-a).

Passo 3

Vamos primeiro calcular a transformada de \cos 3t. A fórmula conhecida (pode também ser obtida pela integral) é
\mathcal{L}\{\cos 3t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+9}.
Aqui 9=3^{2}. Esta é a função G_0(s) que vamos manipular.

Passo 4

Agora usamos a propriedade do multiplicador t. Se G_0(s)=\dfrac{s}{s^{2}+9} então
\mathcal{L}\{t\cos 3t\}(s) = -\frac{d}{ds}\!\left(\frac{s}{s^{2}+9}\right).
Calculamos a derivada passo a passo. Seja H(s)=\dfrac{s}{s^{2}+9}. Usando a regra do quociente:
H'(s)=\frac{1\cdot (s^{2}+9) - s\cdot 2s}{(s^{2}+9)^{2}}=\frac{s^{2}+9-2s^{2}}{(s^{2}+9)^{2}}=\frac{9-s^{2}}{(s^{2}+9)^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}\{t\cos 3t\}(s) = -H'(s) = -\frac{9-s^{2}}{(s^{2}+9)^{2}} = \frac{s^{2}-9}{(s^{2}+9)^{2}}.

Passo 5

Agora aplicamos o deslocamento exponencial para incluir o fator e^{-3t}. Aqui a=-3 (pois e^{-3t}=e^{a t} com a=-3). A propriedade diz que substituímos s por s-a, isto é s-(-3)=s+3. Logo, se chamarmos
G(s)=\mathcal{L}\{t\cos 3t\}(s)=\frac{s^{2}-9}{(s^{2}+9)^{2}},
temos
\mathcal{L}\{t e^{-3t}\cos 3t\}(s)=G(s+3)=\frac{(s+3)^{2}-9}{\bigl((s+3)^{2}+9\bigr)^{2}}.

Passo 6

Simplificamos a expressão obtida:
(s+3)^{2}-9 = s^{2}+6s+9-9 = s^{2}+6s,
e
(s+3)^{2}+9 = s^{2}+6s+9+9 = s^{2}+6s+18.
Portanto a transformada final fica
\mathcal{L}\{t e^{-3t}\cos 3t\}(s)=\frac{s^{2}+6s}{\bigl(s^{2}+6s+18\bigr)^{2}}.
Também é útil saber a região de convergência: como a transformada original de t\cos 3t converge para \Re(s)>0, após o deslocamento por a=-3 a condição torna-se \Re(s)>-3.

Resposta

\displaystyle \frac{s^{2}+6s}{\bigl(s^{2}+6s+18\bigr)^{2}}

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