Nos itens a seguir, calcule as transformadas de Laplace:
\quad \mathcal{L}\left\{t^{10} e^{-7 t}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função \;t^{10} e^{-7t}\;.
Informações dadas:
  • A função é \;f(t)=t^{10} e^{-7t}\; definida para t\ge0.
  • Queremos \;\mathcal{L}\{f(t)\}, isto é, a integral de Laplace correspondente.

Passo 2

Lembrando a definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) com t\ge0,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde s é uma variável complexa cujo domínio de convergência será determinado.

Passo 3

Aplicando essa definição à nossa função:
\mathcal{L}\{t^{10} e^{-7t}\}(s) =\int_{0}^{\infty} t^{10} e^{-7t}\,e^{-s t}\,dt =\int_{0}^{\infty} t^{10} e^{-(s+7)t}\,dt.
É útil definir \;u = s+7\;. Observação de convergência: a integral só converge se \operatorname{Re}(u)>0, isto é, se \operatorname{Re}(s)>-7.

Passo 4

Agora precisamos avaliar a integral geral
I_n(u)=\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-u t}\,dt
para n inteiro não-negativo e \operatorname{Re}(u)>0. Vou provar uma fórmula útil que vale para todo n\in\mathbb{N}:
I_n(u)=\frac{n!}{u^{\,n+1}}.

Passo 5

Prova por indução (a versão elementar, usando integração por partes repetida):
Base n=0:
I_0(u)=\int_{0}^{\infty} e^{-u t}\,dt=\left[-\frac{1}{u}e^{-u t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{u},
já que \operatorname{Re}(u)>0 garante e^{-u t}\to0 quando t\to\infty.

Passo 6

Passo indutivo: suponha que I_{k-1}(u)=\dfrac{(k-1)!}{u^{k}}. Calcule I_k(u) por integração por partes tomando
  • v=t^{k} (logo dv=k t^{k-1}\,dt),
  • dw=e^{-u t}\,dt (logo w=-\dfrac{1}{u}e^{-u t}).
Então
I_k(u)=\int_{0}^{\infty} t^{k} e^{-u t}\,dt =\left[-\frac{t^{k}}{u}e^{-u t}\right]_{0}^{\infty}+\frac{k}{u}\int_{0}^{\infty} t^{k-1} e^{-u t}\,dt.
O termo de borda vale zero (porque t^{k}e^{-u t}\to0 quando t\to\infty para \operatorname{Re}(u)>0, e em t=0 é zero). Assim
I_k(u)=\frac{k}{u}I_{k-1}(u).
Pelo passo indutivo segue que I_k(u)=\dfrac{k!}{u^{k+1}}. Isso fecha a indução.

Passo 7

Aplicando a fórmula ao nosso caso com n=10 e u=s+7, obtemos
\int_{0}^{\infty} t^{10} e^{-(s+7)t}\,dt=\frac{10!}{(s+7)^{11}},
válido para \operatorname{Re}(s)>-7. Para referência, 10!=3628800.

Passo 8

Resumo prático (como usar isso rapidamente na prova): sempre que ver \;t^n e^{at}\; a transformada é obtida deslocando s por -a na fórmula de \;t^n pura. Em outras palavras, \mathcal{L}\{t^n\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}} e, por deslocamento exponencial, \mathcal{L}\{t^n e^{-7t}\}=\dfrac{n!}{(s+7)^{n+1}}. Isso evita ter que fazer integrais em cada questão — basta lembrar a regra e a condição de convergência.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{10} e^{-7t}\}(s)=\frac{10!}{(s+7)^{11}},\qquad \operatorname{Re}(s)>-7

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