Nos itens a seguir, calcule as transformadas de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
definida para . - Queremos
, isto é, a integral de Laplace correspondente.
Passo 2
Lembrando a definição da transformada de Laplace: para uma função
com
,
onde
é uma variável complexa cujo domínio de convergência será determinado.
Passo 3
Aplicando essa definição à nossa função:
É útil definir
. Observação de convergência: a integral só converge se
, isto é, se
.
Passo 4
Agora precisamos avaliar a integral geral
para
inteiro não-negativo e
. Vou provar uma fórmula útil que vale para todo
:
Passo 5
Prova por indução (a versão elementar, usando integração por partes repetida):
Base
:
já que
garante
quando
.
Passo 6
Passo indutivo: suponha que
. Calcule
por integração por partes tomando
-
(logo ), -
(logo ).
Então
O termo de borda vale zero (porque
quando
para
, e em
é zero). Assim
Pelo passo indutivo segue que
. Isso fecha a indução.
Passo 7
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
e
, obtemos
válido para
. Para referência,
.
Passo 8
Resumo prático (como usar isso rapidamente na prova): sempre que ver
a transformada é obtida deslocando
por
na fórmula de
pura. Em outras palavras,
e, por deslocamento exponencial,
. Isso evita ter que fazer integrais em cada questão — basta lembrar a regra e a condição de convergência.