Nos itens a seguir, calcule as transformadas de Laplace:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se calcular a transformada de Laplace da função
. - Informação dada: a função a transformar é
, definida para . - Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (a fórmula básica que vou usar).
- A transformada de Laplace de uma função
é
onde
é uma variável complexa e a integral converge para certos valores de
(essa região de convergência será discutida depois).
- Aqui
.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso e simplificando o integrando.
- Pelo definidor,
- Para que essa integral impropria convirja é necessário que a parte real de
seja positiva, ou seja , isto é . Vou usar isso no final.
Passo 4
Estratégias possíveis para calcular a integral.
- Método rápido (teorema do deslocamento exponencial): se já se conhece
para , então, usando , basta aplicar a substituição . - Método direto (didático): calcular a integral
(com ) por partes repetidas e mostrar que dá . Vou fazer os dois para você aprender bem.
Passo 5
Método A — atalho pelo deslocamento exponencial (rápido e prático).
- Sabe-se que
- Pelo teorema do deslocamento exponencial, para
,
- Aqui a condição de convergência passa a ser
, isto é .
Passo 6
Método B — cálculo direto por integração por partes (mostrando a conta passo a passo).
- Defina
e considere
com
.
- Primeira integração por partes: escolha
e . Então e . Assim
- Avaliando o termo de contorno: como
, quando , e no o termo é zero; portanto o termo de contorno é zero. Logo
- Segunda integração por partes na integral remanescente: para
, escolha , . Seguindo o mesmo raciocínio obtém-se
- Terceira integração por partes: para
, com , , resulta
- Retrocedendo:
- Substituindo
obtemos novamente
válido para
.
Passo 7
Interpretação final e dica para a prova (forma prática).
- Resultado prático: o fator exponencial
desloca para na transformada padrão de . - Dica curta: para
, calcule e depois faça .