Nos itens a seguir, calcule as transformadas de Laplace:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas:
- A função a transformar é
. - A variável temporal é
e a variável de Laplace será . - Não há figuras nem outras restrições explícitas no enunciado.
Passo 2
Lembrete das definições e propriedades que vamos usar (vou explicar cada uma):
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
definida para ,
onde
é um número complexo (aqui tratamos
real e suficientemente grande para garantir convergência).
- Linearidade da transformada: para constantes
e funções ,
Isto permite separar somas e multiplicar por constantes.
- Propriedade de multiplicação por
(derivada em ): se , então
Explicando: multiplicar a função no tempo por
corresponde a derivar (com sinal negativo) sua transformada em relação a
.
- Transformada de uma exponencial simples: para
com real,
válido para
. Usando a propriedade anterior, para
obtemos
válido para
. Outra forma prática, já conhecida, é
.
Passo 3
Primeira ação prática: expandir o quadrado para simplificar a aplicação da linearidade. Calculamos
Portanto a função dada fica
Passo 4
Aplicando a linearidade da transformada, temos
Agora vamos calcular cada termo usando a fórmula de
.
Passo 5
Calcular explicitamente cada transformada:
- Para o primeiro termo, com
,
válido para
.
- Para o segundo termo, com
,
válido para
.
- Para o terceiro termo, com
,
válido para
.
Passo 6
Juntando os resultados e respeitando a região de convergência (que é determinada pelo maior
, aqui
), obtemos
válido para
. Dica para a prova: ao ver produtos de
por exponenciais, lembrar direto da fórmula
poupa tempo; aqui com
dá rapidamente
.