Nos itens a seguir, calcule as transformadas de Laplace:
\mathcal{L}\left\{t\left(e^{t}+e^{2 t}\right)^{2}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função \;t\bigl(e^{t}+e^{2t}\bigr)^{2}.
Informações dadas:
  • A função a transformar é \;t\bigl(e^{t}+e^{2t}\bigr)^{2}.
  • A variável temporal é \;t e a variável de Laplace será \;s.
  • Não há figuras nem outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Lembrete das definições e propriedades que vamos usar (vou explicar cada uma):
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) definida para t\ge0,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
onde \;s é um número complexo (aqui tratamos s real e suficientemente grande para garantir convergência).
  • Linearidade da transformada: para constantes a,b e funções f,g,
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s).
Isto permite separar somas e multiplicar por constantes.
  • Propriedade de multiplicação por t (derivada em s): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s), então
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s) = -\frac{d}{d s}F(s).
Explicando: multiplicar a função no tempo por t corresponde a derivar (com sinal negativo) sua transformada em relação a s.
  • Transformada de uma exponencial simples: para \;e^{a t} com a real,
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\frac{1}{s-a},
válido para \Re(s)>a. Usando a propriedade anterior, para t e^{a t} obtemos
\mathcal{L}\{t e^{a t}\}(s)= -\frac{d}{d s}\left(\frac{1}{s-a}\right)=\frac{1}{(s-a)^{2}},
válido para \Re(s)>a. Outra forma prática, já conhecida, é \mathcal{L}\{t^{n}e^{a t}\}(s)=\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}.

Passo 3

Primeira ação prática: expandir o quadrado para simplificar a aplicação da linearidade. Calculamos
\bigl(e^{t}+e^{2t}\bigr)^{2}=e^{2t}+2e^{3t}+e^{4t}.
Portanto a função dada fica
t\bigl(e^{t}+e^{2t}\bigr)^{2}=t e^{2t} + 2 t e^{3t} + t e^{4t}.

Passo 4

Aplicando a linearidade da transformada, temos
\mathcal{L}\{t(e^{t}+e^{2t})^{2}\}(s) =\mathcal{L}\{t e^{2t}\}(s) + 2\,\mathcal{L}\{t e^{3t}\}(s) + \mathcal{L}\{t e^{4t}\}(s).
Agora vamos calcular cada termo usando a fórmula de \mathcal{L}\{t e^{a t}\}(s)=\dfrac{1}{(s-a)^{2}}.

Passo 5

Calcular explicitamente cada transformada:
  • Para o primeiro termo, com a=2,
\mathcal{L}\{t e^{2t}\}(s)=\frac{1}{(s-2)^{2}},
válido para \Re(s)>2.
  • Para o segundo termo, com a=3,
\mathcal{L}\{t e^{3t}\}(s)=\frac{1}{(s-3)^{2}},
válido para \Re(s)>3.
  • Para o terceiro termo, com a=4,
\mathcal{L}\{t e^{4t}\}(s)=\frac{1}{(s-4)^{2}},
válido para \Re(s)>4.

Passo 6

Juntando os resultados e respeitando a região de convergência (que é determinada pelo maior a, aqui a=4), obtemos
\mathcal{L}\{t(e^{t}+e^{2t})^{2}\}(s) =\frac{1}{(s-2)^{2}} + \frac{2}{(s-3)^{2}} + \frac{1}{(s-4)^{2}},
válido para \Re(s)>4. Dica para a prova: ao ver produtos de t por exponenciais, lembrar direto da fórmula \mathcal{L}\{t^{n}e^{a t}\}=\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}} poupa tempo; aqui com n=1 dá rapidamente \dfrac{1}{(s-a)^{2}}.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t(e^{t}+e^{2t})^{2}\}(s)=\frac{1}{(s-2)^{2}}+\frac{2}{(s-3)^{2}}+\frac{1}{(s-4)^{2}},\quad s>4

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