Nos itens a seguir, calcule as transformadas de Laplace:
\mathcal{L}\left\{e^{-t} \operatorname{sen}^{2} t\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada de Laplace da função
f(t)=e^{-t}\,\sin^{2}t,
ou seja, encontrar
\mathcal{L}\{e^{-t}\sin^{2}t\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,e^{-t}\sin^{2}t\,dt.
Informações/condições dadas:
  • A função é f(t)=e^{-t}\sin^{2}t para t\ge0.
  • A transformada de Laplace é a integral acima (definição padrão, de 0 a \infty).
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado; assuma a convenção usual de que s é a variável complexa da transformada.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar \sin^{2}t usando uma identidade trigonométrica que deixa a função mais fácil para transformar. A identidade é
\sin^{2}t=\frac{1-\cos(2t)}{2}.
Breve justificativa: parte da fórmula do cosseno duplo é \cos(2t)=1-2\sin^{2}t; isolando \sin^{2}t obtém-se a identidade acima. Isso é útil porque transformadas de funções como 1 e \cos(2t) são tabeladas e simples.

Passo 3

Usando a identidade, escrevemos f(t) como soma simples:
e^{-t}\sin^{2}t=e^{-t}\cdot\frac{1-\cos(2t)}{2}=\frac{1}{2}e^{-t}-\frac{1}{2}e^{-t}\cos(2t).
Pela linearidade da transformada de Laplace (ou seja, \mathcal{L}\{a g+b h\}=a\mathcal{L}\{g\}+b\mathcal{L}\{h\}), temos
\mathcal{L}\{e^{-t}\sin^{2}t\}=\frac{1}{2}\mathcal{L}\{e^{-t}\}-\frac{1}{2}\mathcal{L}\{e^{-t}\cos(2t)\}.

Passo 4

Explicar e usar a propriedade de deslocamento no domínio s: se G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s), então para qualquer constante a
\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}(s)=G(s-a).
Justificativa curta: substituir na definição \int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}g(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}g(t)\,dt, que é exatamente G(s-a). No nosso caso a=-1, logo multiplicar por e^{-t} corresponde a substituir s por s+1 nas transformadas de g(t).

Passo 5

Calcular as transformadas básicas que precisamos:
  • Para g(t)=1, tem-se a transformada padrão (para \operatorname{Re}(s)>0):
\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt=\frac{1}{s}.
Aplicando o deslocamento com a=-1:
\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)=\frac{1}{s+1},
válido quando \operatorname{Re}(s+1)>0, ou seja \operatorname{Re}(s)>-1.

Passo 6

Calcular a transformada de \cos(2t) e depois aplicar deslocamento. A transformada conhecida é (para \operatorname{Re}(s)>0)
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.
No caso \omega=2 obtemos
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+4}.
Agora aplicando o deslocamento s\mapsto s+1 (porque multiplicamos por e^{-t}):
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos(2t)\}(s)=\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4}.
A condição de convergência aqui também exige \operatorname{Re}(s+1)>0, i.e. \operatorname{Re}(s)>-1.

Passo 7

Voltar à combinação linear do Passo 3 e substituir os resultados:
\mathcal{L}\{e^{-t}\sin^{2}t\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4}.
Escrevendo de forma combinada:
\mathcal{L}\{e^{-t}\sin^{2}t\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s+1}-\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4}\right).

Passo 8

Simplificar a expressão algébrica passo a passo. Colocar em denominador comum (s+1)\big((s+1)^{2}+4\big):
\frac{1}{2}\left(\frac{(s+1)^{2}+4-(s+1)^{2}}{(s+1)\big((s+1)^{2}+4\big)}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{(s+1)\big((s+1)^{2}+4\big)}.
Isso simplifica para
\mathcal{L}\{e^{-t}\sin^{2}t\}(s)=\frac{2}{(s+1)\big((s+1)^{2}+4\big)}.

Passo 9

Condição de convergência: como já indicado, as transformadas intermediárias exigem \operatorname{Re}(s+1)>0. Portanto a região de convergência é
\operatorname{Re}(s)>-1.
Dica rápida para a prova: sempre que aparecer e^{-at} multiplicando uma função, pense no deslocamento s\mapsto s+a nas transformadas tabeladas — isso evita integrais longas. Também identidades trigonométricas do tipo \sin^{2}t=(1-\cos2t)/2 são muito úteis para transformar potências de senos e cossenos.

Resposta

\frac{2}{(s+1)\big((s+1)^{2}+4\big)}

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