Nos itens a seguir, calcule as transformadas de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede calcular a transformada de Laplace da função
ou seja, encontrar
Informações/condições dadas:
- A função é
para . - A transformada de Laplace é a integral acima (definição padrão, de
a ). - Não há outras restrições explícitas no enunciado; assuma a convenção usual de que
é a variável complexa da transformada.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar
usando uma identidade trigonométrica que deixa a função mais fácil para transformar. A identidade é
Breve justificativa: parte da fórmula do cosseno duplo é
; isolando
obtém-se a identidade acima. Isso é útil porque transformadas de funções como
e
são tabeladas e simples.
Passo 3
Usando a identidade, escrevemos
como soma simples:
Pela linearidade da transformada de Laplace (ou seja,
), temos
Passo 4
Explicar e usar a propriedade de deslocamento no domínio
: se
, então para qualquer constante
Justificativa curta: substituir na definição
, que é exatamente
. No nosso caso
, logo multiplicar por
corresponde a substituir
por
nas transformadas de
.
Passo 5
Calcular as transformadas básicas que precisamos:
- Para
, tem-se a transformada padrão (para ):
Aplicando o deslocamento com
:
válido quando
, ou seja
.
Passo 6
Calcular a transformada de
e depois aplicar deslocamento. A transformada conhecida é (para
)
No caso
obtemos
Agora aplicando o deslocamento
(porque multiplicamos por
):
A condição de convergência aqui também exige
, i.e.
.
Passo 7
Voltar à combinação linear do Passo 3 e substituir os resultados:
Escrevendo de forma combinada:
Passo 8
Simplificar a expressão algébrica passo a passo. Colocar em denominador comum
:
Isso simplifica para
Passo 9
Condição de convergência: como já indicado, as transformadas intermediárias exigem
. Portanto a região de convergência é
Dica rápida para a prova: sempre que aparecer
multiplicando uma função, pense no deslocamento
nas transformadas tabeladas — isso evita integrais longas. Também identidades trigonométricas do tipo
são muito úteis para transformar potências de senos e cossenos.