Seja
o conjunto das funções contínuas
.
Prove que a função
definida por
define um produto interno em
, quaisquer que sejam
.
Prove que a função
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em
, a aplicação
satisfaz as três propriedades de um produto interno real:
- Simetria:
. - Linearidade no primeiro argumento:
. - Positividade definida:
com igualdade só se .
Passo 2
Simetria. Para quaisquer
, como a multiplicação é comutativa,
Integrando ambos os lados,
Passo 3
Linearidade no primeiro argumento. Sejam
e
. Usamos a linearidade do operador integral:
Passo 4
Positividade definida. Para qualquer
,
Como
para todo
, a integral é não negativa:
.
Se , então
.
Mas uma função contínua cuja integral é zero deve ser identicamente zero em
. Logo
\
, ou seja,
.
Se
Mas uma função contínua
Resposta
Portanto,
satisfaz simetria, linearidade no primeiro argumento e positividade definida, logo é um produto interno em
.