Nos itens a seguir, dada a função periódica f(t), no intervalo definido: construir a Série de Fourier, por definição; definir se a função f(t) é par ou ímpar e qual o impacto na construção da Série de Fourier; e esboçar a série obtida para n=1, n=5, n=10, n=30 e n=50 (indicar o software utilizado).
f(t)=c 0,-pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre uma função periódica definida por partes no intervalo . A gente vai construir a Série de Fourier dessa função, descobrir se ela é par ou ímpar e entender como isso afeta a série. Depois, vamos esboçar a série para diferentes valores de usando um software.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma Série de Fourier. Ela é uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Isso é útil porque permite analisar e entender comportamentos complexos de funções periódicas usando funções trigonométricas mais simples.

Passo 3

Vamos analisar a função f(t) = 0, & -pi < t < 0 1, & 0 < t < pi :
Essa função é periódica com período .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função f(-t) = 0, & -pi < -t < 0 Rightarrow 0 < t < pi 1, & 0 < -t < pi Rightarrow -pi < t < 0 é par ou ímpar. Uma função é par se e ímpar se .
Calculando :
Isso não é igual a nem a , então a função não é nem par nem ímpar.

Passo 5

Mesmo que a função não seja par nem ímpar, podemos construir sua Série de Fourier usando a definição geral. A série terá termos de cossenos e senos.
A série de Fourier para uma função periódica com período f(t) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(nt) + bn sin(nt) ] é dada por:
a0 = 1pi integral-pi^pi f(t) , dt
Onde:
an = 1pi integral-pi^pi f(t) cos(nt) , dt
bn = 1pi integral-pi^pi f(t) sin(nt) , dt

Passo 6

Vamos calcular a0 = 1pi integral-pi^pi f(t) , dt = 1pi ( integral-pi^0 0 , dt + integral0^pi 1 , dt ) = 1pi ( 0 + pi ) = 1 :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos calcular an = 1pi integral-pi^pi f(t) cos(nt) , dt = 1pi ( integral-pi^0 0 cdot cos(nt) , dt + integral0^pi 1 cdot cos(nt) , dt ) = 1pi integral0^pi cos(nt) , dt :
integral cos(nt) , dt = sin(nt)n
Integrando:
an = 1pi [ sin(npi)n - sin(0)n ] = sin(npi)npi = 0
Então,
Porque para todo inteiro .

Passo 8

Agora, vamos calcular bn = 1pi integral-pi^pi f(t) sin(nt) , dt = 1pi ( integral-pi^0 0 cdot sin(nt) , dt + integral0^pi 1 cdot sin(nt) , dt ) = 1pi integral0^pi sin(nt) , dt :
integral sin(nt) , dt = -cos(nt)n
Integrando:
bn = 1pi [ -cos(npi)n + cos(0)n ] = 1pi n (1 - (-1)^n) = 1 - (-1)^npi n
Então,

Passo 9

Substituindo f(t) = 12 + sumn=1^infty [ 0 cdot cos(nt) + 1 - (-1)^npi n sin(nt) ] = 12 + 1pi sumn=1^infty 1 - (-1)^nn sin(nt) , e na série de Fourier:

Passo 10

Então, a Série de Fourier de f(t) = 12 + 1pi sumn=1^infty 1 - (-1)^nn sin(nt) é:

Passo 11

Como a função não é nem par nem ímpar, a série de Fourier contém apenas termos de seno que aparecem devido à assimetria da função em relação ao eixo .

Passo 12

Para esboçar a série para diferentes valores de , vamos usar o software Matplotlib no Python. Vou demonstrar como a aproximação da série melhora conforme aumentamos .

Passo 13

Resposta:
A Série de Fourier da função f(t) = 12 + 1pi sumn=1^infty 1 - (-1)^nn sin(nt) é:

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