Nos itens a seguir, dada a função periódica
, no intervalo definido: construir a Série de Fourier, por definição; definir se a função
é par ou ímpar e qual o impacto na construção da Série de Fourier; e esboçar a série obtida para
e
(indicar o software utilizado).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre uma função periódica
definida por partes no intervalo
. A gente vai construir a Série de Fourier dessa função, descobrir se ela é par ou ímpar e entender como isso afeta a série. Depois, vamos esboçar a série para diferentes valores de
usando um software.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma Série de Fourier. Ela é uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Isso é útil porque permite analisar e entender comportamentos complexos de funções periódicas usando funções trigonométricas mais simples.
Passo 3
Vamos analisar a função
:
Essa função é periódica com período
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a função
é par ou ímpar. Uma função é par se
e ímpar se
.
Calculando
:
Isso não é igual a
nem a
, então a função não é nem par nem ímpar.
Passo 5
Mesmo que a função não seja par nem ímpar, podemos construir sua Série de Fourier usando a definição geral. A série terá termos de cossenos e senos.
A série de Fourier para uma função periódica com período
é dada por:
Onde:
Passo 6
Vamos calcular
:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Integrando:
Então,
Porque
para todo inteiro
.
Passo 8
Agora, vamos calcular
:
Integrando:
Então,
Passo 9
Substituindo
,
e
na série de Fourier:
Passo 10
Então, a Série de Fourier de
é:
Passo 11
Como a função não é nem par nem ímpar, a série de Fourier contém apenas termos de seno que aparecem devido à assimetria da função em relação ao eixo
.
Passo 12
Para esboçar a série para diferentes valores de
, vamos usar o software Matplotlib no Python. Vou demonstrar como a aproximação da série melhora conforme aumentamos
.
Passo 13
Resposta:
A Série de Fourier da função
é: