Nos itens a seguir, ache os polinômios de Taylor de ordens n=0,1,2,3 e 4 em torno de x=x0, e, então, ache a Série de Taylor para a função em notação de somatório.
e^x ; x0=1

Passo 1

O enunciado pede para achar os polinômios de Taylor de ordem n=0,1,2,3 e 4 para a função e^x em torno de x0 = 1, e depois escrever a série de Taylor completa em notação de somatório.

Passo 2

A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem n em torno de x0 é
Pn(x) = sumk=0^n f^(k)(x0)k!,(x - x0)^k

Passo 3

No nosso caso temos f(x)=e^x, e todas as derivadas são f^(k)(x)=e^x. Logo, em x0=1 vale f^(k)(1)=e para todo k. Substituindo na fórmula:
Pn(x) = esumk=0^n (x-1)^kk!

Passo 4

Agora é só escrever explicitamente para n=0,1,2,3,4:
  • P0(x) = e
  • P1(x) = e + e, (x-1)
  • P2(x) = e + e, (x-1) + e2!(x-1)^2
  • P3(x) = e + e, (x-1) + e2!(x-1)^2 + e3!(x-1)^3
  • P4(x) = e + e, (x-1) + e2!(x-1)^2 + e3!(x-1)^3 + e4!(x-1)^4

Passo 5

Por fim, a Série de Taylor (caso infinitesimal) para e^x em torno de x0=1 fica:
e^x = e sumk=0^infty (x-1)^kk!

Resposta

Temos
P0(x) = e, P1(x) = e + e(x-1), P2(x) = e + e(x-1) + e2!(x-1)^2,
P3(x) = e + e(x-1) + e2!(x-1)^2 + e3!(x-1)^3, P4(x) = e + e(x-1) + e2!(x-1)^2 + e3!(x-1)^3 + e4!(x-1)^4
A série de Taylor é
e^x = e sumk=0^infty (x-1)^kk!

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