Encontre a solução geral da seguinte EDO:
x^2 y^prime prime+5 x y^prime+104 y=0, x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de Euler–Cauchy de segunda ordem
x^2y''+5xy'+104y=0, x>0
O conteúdo aqui é justamente a equação de Cauchy, em que assumimos uma solução do tipo y=x^r e depois montamos a equação característica para encontrar os expoentes r.

Passo 2

Para encontrar a equação característica, tomamos y=x^r, de modo que
y'=r x^r-1, y''=r(r-1)x^r-2
Substituindo na EDO:
x^2l[r(r-1)x^r-2r]+5xl[r x^r-1r]+tfrac104x^r=0
Simplificando o fator x^r (que não é zero para x>0) obtemos a equação em r:
r(r-1)+5r+tfrac104=0

Passo 3

Expandindo e organizando:
r^2-r+5r+tfrac104=0
r^2+4r+tfrac104=0
O discriminante é
De
Logo as raízes são
r=-4pmraiz62=-2pmraiz62

Passo 4

Como a equação característica tem duas raízes reais distintas r1=-2+tfracraiz62 e r2=-2-tfracraiz62, a solução geral da EDO é dada por
y(x)=C1x^r1+C2x^r2

Resposta

y(x)=C1x^-2+tfracraiz62+C2x^-2-tfracraiz62

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