Considere a função f(x, y)=x^2+2 x y-3 y^2 e a parametrização x(t)=t^2-1 e y(t)=t^3+1.
(e) Substitua os valores de x e y pelas suas expressões em t na resposta to item (b) e verifique que a resposta é a mesma do item (d).

Passo 1

O item (e) pede para pegar a expressão de dfdt que veio do item (b) (usando a regra da cadeia) e, ao substituir x(t) e y(t), mostrar que ela coincide com o resultado do item (d).

Passo 2

Primeiro vamos achar as derivadas parciais de f(x,y)=x^2+2xy-3y^2. Elas são importantes porque aparecem na regra da cadeia:
fx=partial fpartial x=2x+2y
fy=partial fpartial y=2x-6y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas da parametrização x(t)=t^2-1 e y(t)=t^3+1:
x'(t)=2t
y'(t)=3t^2

Passo 4

Pela regra da cadeia (item b), temos
dfdt=fx,x'+fy,y'

Passo 5

Substituindo fx, fy, x' e y':
dfdt=(2x+2y)cdot2t+(2x-6y)cdot3t^2

Passo 6

Agora plugamos x=t^2-1 e y=t^3+1 e simplificamos passo a passo:
  • Calcule x+y=(t^2-1)+(t^3+1)=t^3+t^2.
  • Calcule 2x-6y=2(t^2-1)-6(t^3+1)=2t^2-2-6t^3-6=-6t^3+2t^2-8.
    Logo
dfdt=2tcdot2(x+y)+3t^2cdot(2x-6y)=4t(t^3+t^2)+3t^2(-6t^3+2t^2-8)
dfdt=4t^4+4t^3-18t^5+6t^4-24t^2=-18t^5+10t^4+4t^3-24t^2

Passo 7

No item (d) tínhamos derivado diretamente f(t)=f(x(t),y(t)) e chegamos exatamente ao mesmo polinômio:
-18t^5+10t^4+4t^3-24t^2

Passo 8

Portanto a expressão obtida pela regra da cadeia (item b) com substituição coincide com o resultado direto do item (d).

Resposta

As duas expressões coincidem e são ambas -18t^5+10t^4+4t^3-24t^2.

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