Considere a função
e a parametrização
e
.
(e) Substitua os valores de
e
pelas suas expressões em
na resposta to item (b) e verifique que a resposta é a mesma do item (d).
(e) Substitua os valores de
Passo 1
O item (e) pede para pegar a expressão de
que veio do item (b) (usando a regra da cadeia) e, ao substituir
e
, mostrar que ela coincide com o resultado do item (d).
Passo 2
Primeiro vamos achar as derivadas parciais de
. Elas são importantes porque aparecem na regra da cadeia:
Passo 3
Agora calculamos as derivadas da parametrização
e
:
Passo 4
Pela regra da cadeia (item b), temos
Passo 5
Substituindo
,
,
e
:
Passo 6
Agora plugamos
e
e simplificamos passo a passo:
- Calcule
. - Calcule
.
Logo
Passo 7
No item (d) tínhamos derivado diretamente
e chegamos exatamente ao mesmo polinômio:
Passo 8
Portanto a expressão obtida pela regra da cadeia (item b) com substituição coincide com o resultado direto do item (d).
Resposta
As duas expressões coincidem e são ambas
.