Nos itens a seguir, decida qual técnica usar e depois calcule a integral.
integral0^4 x-1x^2-4 x+5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^4x-1x^2-4x+5,dx. O conteúdo envolve integração de funções racionais, e vamos usar completar o quadrado no denominador e decompor o numerador para identificar a parte que gera ln e a parte que gera arctan.

Passo 2

Observe que x^2-4x+5=(x-2)^2+1. Além disso, reescrevemos o numerador como x-1=(x-2)+1. Dessa forma, podemos separar a integral em duas parcelas: $$\int_{0}{4}\frac{x-2}{(x-2){2}+1},dx;+
\int_{0}{4}\frac{1}{(x-2){2}+1},dx$$.

Passo 3

Para a primeira parte, fazemos a substituição u=(x-2)^2+1, de modo que du=2(x-2),dx. Isso dá
x-2(x-2)^2+1,dx=12duuIntegrando, obtemos tfrac12lnl((x-2)^2+1r).

Passo 4

A segunda parte é a forma padrão de arctan:
integral1(x-2)^2+1,dx=arctan(x-2)
Somando, a antiderivada geral fica
F(x)=12lnl((x-2)^2+1r)+arctan(x-2)

Passo 5

Agora aplicamos os limites de 0 a 4. Em x=4 temos tfrac12ln5+arctan2, e em x=0 temos tfrac12ln5+arctan(-2). Subtraindo, o termo tfrac12ln5 cancela, restando arctan2-arctan(-2). Usando arctan(-t)=-arctan(t), concluímos que o valor da integral é 2arctan2.

Resposta

2arctan(2)

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