Nos itens a seguir, decida qual técnica usar e depois calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. O conteúdo envolve integração de funções racionais, e vamos usar completar o quadrado no denominador e decompor o numerador para identificar a parte que gera
e a parte que gera
.
Passo 2
Observe que
. Além disso, reescrevemos o numerador como
. Dessa forma, podemos separar a integral em duas parcelas: $$\int_{0}{4}\frac{x-2}{(x-2){2}+1},dx;+
\int_{0}{4}\frac{1}{(x-2){2}+1},dx$$.
Passo 3
Para a primeira parte, fazemos a substituição
, de modo que
. Isso dá
Passo 4
A segunda parte é a forma padrão de
:
Somando, a antiderivada geral fica
Passo 5
Agora aplicamos os limites de 0 a 4. Em
temos
, e em
temos
. Subtraindo, o termo
cancela, restando
. Usando
, concluímos que o valor da integral é
.