Nos itens a seguir, determine
por derivação implícita.
Passo 1
O enunciado dá a equação
onde
é uma função de
(ou seja,
). A tarefa é determinar
por diferenciação implícita.
Informações relevantes que temos:
- A equação relaciona
e de forma implícita. - Deve-se diferenciar ambos os lados em relação a
, lembrando que depende de . - Não há valores numéricos dados; a resposta será uma expressão para
em termos de e .
Passo 2
Antes de diferenciar, lembrar duas coisas fundamentais (aulas rápidas e práticas):
- Derivada da exponencial composta (regra da cadeia): se
então
Exemplo rápido:
.
- No nosso caso, para termos como
e devemos aplicar a regra da cadeia porque depende de . Assim:
-
. -
.
Passo 3
Agora diferenciamos ambos os lados da igualdade em relação a
. Pela regra da soma e pelo que vimos:
Aplicando as derivadas:
Passo 4
Vamos isolar
. Partimos da equação
Colocamos os termos com
de um lado e os demais do outro:
Fatorando
no lado esquerdo:
Usando
para simplificar, podemos escrever os dois lados de forma factorizada. Por exemplo:
Substituindo essas formas na equação fatorada:
Portanto
Se preferir arrumar o sinal no numerador, uma forma equivalente é
Passo 5
Comentário rápido e motivador: a técnica foi sempre a mesma — diferenciar termo a termo aplicando a regra da cadeia quando aparecer
, agrupar os termos com
, fatorar e isolar. Dá pra fazer isso numa prova com calma mesmo se estiver nervoso; respira fundo, aplica cadeia, junta os
e resolve algebricamente. Você já consegue repetir isso!