Nos itens a seguir, determine \frac{d y}{d x} por derivação implícita.
e^{x}+e^{y}=e^{x+y}

Passo 1

O enunciado dá a equação
e^{x}+e^{y}=e^{x+y}
onde y é uma função de x (ou seja, y=y(x)). A tarefa é determinar \dfrac{dy}{dx} por diferenciação implícita.
Informações relevantes que temos:
  • A equação relaciona x e y de forma implícita.
  • Deve-se diferenciar ambos os lados em relação a x, lembrando que y depende de x.
  • Não há valores numéricos dados; a resposta será uma expressão para \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.

Passo 2

Antes de diferenciar, lembrar duas coisas fundamentais (aulas rápidas e práticas):
  1. Derivada da exponencial composta (regra da cadeia): se u=u(x) então
\frac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)}\cdot u'(x).
Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}e^{3x}=e^{3x}\cdot 3.
  1. No nosso caso, para termos como e^{y} e e^{x+y} devemos aplicar a regra da cadeia porque y depende de x. Assim:
  • \dfrac{d}{dx} e^{y} = e^{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}.
  • \dfrac{d}{dx} e^{x+y} = e^{x+y}\cdot \dfrac{d}{dx}(x+y) = e^{x+y}\cdot\bigl(1+\dfrac{dy}{dx}\bigr).

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados da igualdade em relação a x. Pela regra da soma e pelo que vimos:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x+y}\bigr).
Aplicando as derivadas:
e^{x} + e^{y}\frac{dy}{dx} = e^{x+y}\bigl(1+\frac{dy}{dx}\bigr).

Passo 4

Vamos isolar \dfrac{dy}{dx}. Partimos da equação
e^{x} + e^{y}\frac{dy}{dx} = e^{x+y} + e^{x+y}\frac{dy}{dx}.
Colocamos os termos com \dfrac{dy}{dx} de um lado e os demais do outro:
e^{y}\frac{dy}{dx} - e^{x+y}\frac{dy}{dx} = e^{x+y} - e^{x}.
Fatorando \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo:
\frac{dy}{dx}\bigl(e^{y} - e^{x+y}\bigr) = e^{x+y} - e^{x}.
Usando e^{x+y}=e^{x}e^{y} para simplificar, podemos escrever os dois lados de forma factorizada. Por exemplo:
e^{y}-e^{x+y}=e^{y}\bigl(1-e^{x}\bigr), \qquad e^{x+y}-e^{x}=e^{x}\bigl(e^{y}-1\bigr).
Substituindo essas formas na equação fatorada:
\frac{dy}{dx}\,e^{y}\bigl(1-e^{x}\bigr) = e^{x}\bigl(e^{y}-1\bigr).
Portanto
\frac{dy}{dx} = \frac{e^{x}\bigl(e^{y}-1\bigr)}{e^{y}\bigl(1-e^{x}\bigr)}.
Se preferir arrumar o sinal no numerador, uma forma equivalente é
\frac{dy}{dx} = \frac{e^{x}\bigl(1-e^{y}\bigr)}{e^{y}\bigl(e^{x}-1\bigr)}.

Passo 5

Comentário rápido e motivador: a técnica foi sempre a mesma — diferenciar termo a termo aplicando a regra da cadeia quando aparecer y(x), agrupar os termos com \dfrac{dy}{dx}, fatorar e isolar. Dá pra fazer isso numa prova com calma mesmo se estiver nervoso; respira fundo, aplica cadeia, junta os y' e resolve algebricamente. Você já consegue repetir isso!

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{e^{x}\bigl(1-e^{y}\bigr)}{e^{y}\bigl(e^{x}-1\bigr)}

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