Nos itens a seguir, determine
por derivação implícita.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
por diferenciação implícita a partir da relação
Informações dadas e o que se busca:
- A relação é implícita entre
e : não está isolado. - Quer-se a derivada
, ou seja, como varia em função de . - Admitimos que as funções envolvidas são diferenciáveis onde faz sentido (para que possamos aplicar as regras de derivação).
Passo 2
Aplicar a derivada total em ambos os lados da igualdade em relação a
. Vou chamar a derivada de
. Diferenciando o lado esquerdo
:
Regra que uso (cadeia): se
e temos
, então
Aqui
, logo
(Exemplo rápido para entender:
; mesma ideia.)
Passo 3
Agora derivar o lado direito
.
Regra que uso (cadeia + log): se
então
Aqui
. Então
Calcular a derivada do interno:
(regra do polinómio) e
(constante multiplicando
). Assim
Passo 4
Igualando as derivadas dos dois lados obtemos a equação para
:
Para eliminar o denominador, multiplico ambos os lados por
:
Passo 5
Coloco todos os termos que contêm
no lado esquerdo e os demais no direito. Primeiro expandir o lado esquerdo (ou apenas reorganizar):
Agora subtrair
de ambos os lados:
Passo 6
Fatorar
no lado esquerdo:
Finalmente isolar
dividindo pelo fator entre parênteses (assumindo que não é zero no ponto considerado):
Podemos escrever o denominador de forma factorizada em
para ficar um pouco mais compacto: