Nos itens a seguir, determine \frac{d y}{d x} por derivação implícita.
e^{y}=\ln \left(x^{3}+3 y\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar \dfrac{dy}{dx} por diferenciação implícita a partir da relação
e^{y}=\ln\!\left(x^{3}+3y\right).
Informações dadas e o que se busca:
  • A relação é implícita entre x e y: y não está isolado.
  • Quer-se a derivada \dfrac{dy}{dx}, ou seja, como y varia em função de x.
  • Admitimos que as funções envolvidas são diferenciáveis onde faz sentido (para que possamos aplicar as regras de derivação).

Passo 2

Aplicar a derivada total em ambos os lados da igualdade em relação a x. Vou chamar a derivada de \dfrac{d}{dx}. Diferenciando o lado esquerdo \dfrac{d}{dx}\big(e^{y}\big):
Regra que uso (cadeia): se u=v(x) e temos e^{u}, então
\frac{d}{dx}e^{u}=e^{u}\cdot\frac{du}{dx}.
Aqui u=y(x), logo
\frac{d}{dx}\big(e^{y}\big)=e^{y}\cdot\frac{dy}{dx}.
(Exemplo rápido para entender: \dfrac{d}{dx}e^{3x}=e^{3x}\cdot 3; mesma ideia.)

Passo 3

Agora derivar o lado direito \dfrac{d}{dx}\big(\ln(x^{3}+3y)\big).
Regra que uso (cadeia + log): se v=v(x) então
\frac{d}{dx}\ln(v)=\frac{1}{v}\cdot\frac{dv}{dx}.
Aqui v(x)=x^{3}+3y(x). Então
\frac{d}{dx}\ln(x^{3}+3y)=\frac{1}{x^{3}+3y}\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{3}+3y\big).
Calcular a derivada do interno: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2} (regra do polinómio) e \dfrac{d}{dx}(3y)=3\cdot\dfrac{dy}{dx} (constante multiplicando y). Assim
\frac{d}{dx}\ln(x^{3}+3y)=\frac{3x^{2}+3\frac{dy}{dx}}{x^{3}+3y}.

Passo 4

Igualando as derivadas dos dois lados obtemos a equação para \dfrac{dy}{dx}:
e^{y}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}+3\frac{dy}{dx}}{x^{3}+3y}.
Para eliminar o denominador, multiplico ambos os lados por x^{3}+3y:
e^{y}(x^{3}+3y)\frac{dy}{dx}=3x^{2}+3\frac{dy}{dx}.

Passo 5

Coloco todos os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo e os demais no direito. Primeiro expandir o lado esquerdo (ou apenas reorganizar):
e^{y}x^{3}\frac{dy}{dx}+3e^{y}y\frac{dy}{dx}=3x^{2}+3\frac{dy}{dx}.
Agora subtrair 3\frac{dy}{dx} de ambos os lados:
e^{y}x^{3}\frac{dy}{dx}+3e^{y}y\frac{dy}{dx}-3\frac{dy}{dx}=3x^{2}.

Passo 6

Fatorar \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo:
\left(e^{y}x^{3}+3e^{y}y-3\right)\frac{dy}{dx}=3x^{2}.
Finalmente isolar \dfrac{dy}{dx} dividindo pelo fator entre parênteses (assumindo que não é zero no ponto considerado):
\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}}{e^{y}x^{3}+3e^{y}y-3}.
Podemos escrever o denominador de forma factorizada em e^{y} para ficar um pouco mais compacto:
\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}}{e^{y}\big(x^{3}+3y\big)-3}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}}{e^{y}\big(x^{3}+3y\big)-3}.

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