Nos itens a seguir, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
.
Informações relevantes (tiradas do enunciado):
- A função é soma de duas funções compostas:
- primeira parte:
; - segunda parte:
.
- primeira parte:
- Não há outros dados numéricos; só precisamos diferenciar essa expressão em relação a
.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados com calma).
- Regra da cadeia (ideia): se
, ou seja, uma função aplicada a outra , então a derivada de é a derivada de avaliada em multiplicada pela derivada de . Em fórmulas:
Aqui
é a derivada de
em termos de sua variável interna, e
é a derivada da função interna.
- Derivada da exponencial: para
,
Ou seja, a derivada de
é ela mesma vezes a derivada do expoente.
- Derivada da tangente: começar por lembrar que
. Derivando:
Portanto, por regra da cadeia, para
,
Passo 3
Derivada da primeira parcela
.
- Identifico a função externa
e a função interna . - Pela regra da cadeia e pela derivada da tangente:
- Agora calculo
. Usando a regra da exponencial ( tem derivada ) com , temos . Logo
- Substituindo:
Passo 4
Derivada da segunda parcela
.
- Identifico a função externa
e a interna . - Pela regra da cadeia e pela derivada da exponencial:
- Agora derivar
: aqui a função externa é e a interna . Usando a fórmula da tangente e a regra da cadeia:
- Substituindo de volta:
Passo 5
Somando as derivadas das duas parcelas (porque a derivada de uma soma é a soma das derivadas):
Podemos, se quiser, colocar em fator comum
: