Nos itens a seguir, calcule \frac{d y}{d x}.
y=\operatorname{tg} e^{3 x}+e^{\operatorname{tg} 3 x}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\operatorname{tg} e^{3 x}+e^{\operatorname{tg} 3 x}
e pede para calcular \dfrac{d y}{d x}.
Informações relevantes (tiradas do enunciado):
  • A função é soma de duas funções compostas:
    • primeira parte: \operatorname{tg}\big(e^{3x}\big);
    • segunda parte: e^{\operatorname{tg}(3x)}.
  • Não há outros dados numéricos; só precisamos diferenciar essa expressão em relação a x.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados com calma).
  1. Regra da cadeia (ideia): se y=f(g(x)), ou seja, uma função f aplicada a outra g(x), então a derivada de y é a derivada de f avaliada em g(x) multiplicada pela derivada de g(x). Em fórmulas:
\frac{d}{dx}f(g(x))=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Aqui f' é a derivada de f em termos de sua variável interna, e g'(x) é a derivada da função interna.
  1. Derivada da exponencial: para h(x)=e^{u(x)},
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Ou seja, a derivada de e^{(\cdot)} é ela mesma vezes a derivada do expoente.
  1. Derivada da tangente: começar por lembrar que \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Derivando:
\frac{d}{dx}\operatorname{tg} x=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) =\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} =\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} =\frac{1}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}^2 x.
Portanto, por regra da cadeia, para h(x)=\operatorname{tg}\big(u(x)\big),
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}\big(u(x)\big)=\operatorname{sec}^2\big(u(x)\big)\cdot u'(x).

Passo 3

Derivada da primeira parcela \operatorname{tg}\big(e^{3x}\big).
  • Identifico a função externa f(u)=\operatorname{tg} u e a função interna u(x)=e^{3x}.
  • Pela regra da cadeia e pela derivada da tangente:
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}\big(e^{3x}\big)=\operatorname{sec}^2\big(e^{3x}\big)\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{3x}\big).
  • Agora calculo \dfrac{d}{dx}e^{3x}. Usando a regra da exponencial ( e^{u(x)} tem derivada e^{u(x)}u'(x)) com u(x)=3x, temos u'(x)=3. Logo
\frac{d}{dx}e^{3x}=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}.
  • Substituindo:
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}\big(e^{3x}\big)=\operatorname{sec}^2\big(e^{3x}\big)\cdot 3e^{3x}=3e^{3x}\operatorname{sec}^2\big(e^{3x}\big).

Passo 4

Derivada da segunda parcela e^{\operatorname{tg}(3x)}.
  • Identifico a função externa F(v)=e^{v} e a interna v(x)=\operatorname{tg}(3x).
  • Pela regra da cadeia e pela derivada da exponencial:
\frac{d}{dx}e^{\operatorname{tg}(3x)}=e^{\operatorname{tg}(3x)}\cdot\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg}(3x)\big).
  • Agora derivar \operatorname{tg}(3x): aqui a função externa é \operatorname{tg}(w) e a interna w(x)=3x. Usando a fórmula da tangente e a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(3x)=\operatorname{sec}^2(3x)\cdot\frac{d}{dx}(3x)=\operatorname{sec}^2(3x)\cdot 3 = 3\operatorname{sec}^2(3x).
  • Substituindo de volta:
\frac{d}{dx}e^{\operatorname{tg}(3x)}=e^{\operatorname{tg}(3x)}\cdot 3\operatorname{sec}^2(3x)=3e^{\operatorname{tg}(3x)}\operatorname{sec}^2(3x).

Passo 5

Somando as derivadas das duas parcelas (porque a derivada de uma soma é a soma das derivadas):
\frac{dy}{dx}=3e^{3x}\operatorname{sec}^2\big(e^{3x}\big)+3e^{\operatorname{tg}(3x)}\operatorname{sec}^2(3x).
Podemos, se quiser, colocar em fator comum 3:
\frac{dy}{dx}=3\Big(e^{3x}\operatorname{sec}^2\big(e^{3x}\big)+e^{\operatorname{tg}(3x)}\operatorname{sec}^2(3x)\Big).

Resposta

3e^{3x}\operatorname{sec}^2\big(e^{3x}\big)+3e^{\operatorname{tg}(3x)}\operatorname{sec}^2(3x)

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