Determine a área interior a
e
.
e
Passo 1
O exercício pede a área da região limitada pelas curvas polares
e
. Vamos usar integração em coordenadas polares, encontrando primeiro os ângulos de interseção, depois identificando qual curva é externa e definindo a integral da área como metade da diferença dos quadrados dos raios.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção resolvendo
:
Logo
Passo 3
Determinar qual curva é externa entre
e
. Para esses ângulos,
, então
o que mostra
é a fronteira externa e
a interna nesse intervalo.
Passo 4
Montar a integral da área entre as curvas:
Passo 5
Calcular a integral. Expandindo o integrando:
Usando
, obtemos integrando de
a
e simplificando, chega-se a
Resposta
30\sqrt{3} - 15\pi