Determine a área interior a r2 e r1.
r1=5+7 cos theta e r2=-3 cos theta

Passo 1

O exercício pede a área da região limitada pelas curvas polares r1 = 5 + 7costheta e r2 = -3costheta. Vamos usar integração em coordenadas polares, encontrando primeiro os ângulos de interseção, depois identificando qual curva é externa e definindo a integral da área como metade da diferença dos quadrados dos raios.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo r1 = r2:
5 + 7costheta = -3costheta
10costheta = -5 Longrightarrow costheta = -tfrac12
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theta = tfrac2pi3, tfrac4pi3

Passo 3

Determinar qual curva é externa entre theta = tfrac2pi3 e theta = tfrac4pi3. Para esses ângulos, costheta<= -tfrac12, então
r2 = -3costheta >= 1.5, r1 = 5+7costheta <= 1.5
o que mostra r2 é a fronteira externa e r1 a interna nesse intervalo.

Passo 4

Montar a integral da área entre as curvas:
A = 12 integral2pi/3^4pi/3 l(r2^2 - r1^2r),dtheta = 12 integral2pi/3^4pi/3 l[(-3costheta)^2 - (5+7costheta)^2r] ,dtheta

Passo 5

Calcular a integral. Expandindo o integrando:
(-3costheta)^2 - (5+7costheta)^2 = 9cos^2theta - l(25 + 70costheta +49cos^2thetar) = -25 -70costheta -40cos^2theta
Usando cos^2theta = tfrac1+cos2theta2, obtemos integrando de 2pi/3 a 4pi/3 e simplificando, chega-se a
A = 30raiz3 - 15pi .

Resposta

30\sqrt{3} - 15\pi

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