Nos itens a seguir, use a relação
para determinar o valor exato da integral definida.
Passo 1
O enunciado pede que se determine, usando a relação de soma de Riemann
o valor exato da integral
Informações dadas e o que precisamos usar:
- Intervalo de integração:
. - Função integranda:
. - Vamos usar a definição como limite de soma de Riemann (dividir o intervalo em
subintervalos, escolher pontos , somar e tomar o limite ).
Passo 2
Dividimos o intervalo
em
subintervalos de mesmo comprimento. Assim:
Escolho como pontos de amostragem os extremos direitos de cada subintervalo (poderíamos escolher outros; qualquer escolha regular dá o mesmo limite). Então
Passo 3
Avalio a função nos pontos
:
A soma de Riemann é
Colocando fatores comuns fora da soma:
Passo 4
Agora precisamos da soma dos cubos. Usamos a fórmula conhecida
Se quiser uma justificativa curta por indução:
- Para
dá . - Suponha a fórmula válida para
. Então
Fazendo as contas (colocando sobre o mesmo denominador e fatorando) obtém-se
que é a fórmula para
. Assim a identidade vale para todo
.
Passo 5
Substituindo
e
na expressão da soma de Riemann:
Simplifico passo a passo. Primeiro a parte com
:
Multiplicando por
e subtraindo o outro termo:
Passo 6
Agora tomamos o limite
:
Observando que
temos
Fazendo a subtração em fração:
Passo 7
Pequeno reforço (cheque rápido): usando uma primitiva
e o Teorema Fundamental do Cálculo obtém-se a mesma conta:
Ótimo — chegamos ao mesmo resultado pela soma de Riemann e pela primitiva. Você mandou bem por ter pedido usar a definição!