Nos itens a seguir, use a relação \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(c_{i}\right) \Delta x para determinar o valor exato da integral definida.
\int_{1}^{4}\left(x^{2}+4 x+5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor exato da integral definida usando a relação
\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{n} f(c_i)\,\Delta x.
Dados do problema:
  • Função integranda: \,f(x)=x^{2}+4x+5\,.
  • Intervalo de integração: \,[1,4]\,.
    O objetivo: montar a soma de Riemann para f em [1,4], passar ao limite quando n\to\infty e obter o valor exato da integral.

Passo 2

Dividindo o intervalo [1,4] em n subintervalos de mesmo comprimento, a largura de cada subintervalo é
\Delta x=\frac{4-1}{n}=\frac{3}{n}.
Vou usar amostras nos extremos direitos de cada subintervalo (é uma escolha conveniente; qualquer escolha correta dá o mesmo limite). Assim o ponto de amostragem c_i no i-ésimo subintervalo é
c_i=1+i\Delta x=1+i\frac{3}{n}.

Passo 3

Agora escrevo f(c_i). Primeiro defino r=\dfrac{3}{n} para simplificar a escrita, assim c_i=1+ri. Calculando f(c_i):
f(c_i)=(c_i)^2+4c_i+5=(1+ri)^2+4(1+ri)+5.
Faço a expansão passo a passo:
(1+ri)^2=1+2ri+r^2 i^2,
4(1+ri)=4+4ri.
Somando tudo:
f(c_i)=\bigl(1+2ri+r^2 i^2\bigr)+\bigl(4+4ri\bigr)+5.
Agrupando termos semelhantes:
f(c_i)=r^2 i^2 + (2r i + 4r i) + (1+4+5).
Portanto
f(c_i)=r^2 i^2 + 6r i + 10.

Passo 4

A soma de Riemann usando os c_i escolhidos é
\sum_{i=1}^{n} f(c_i)\,\Delta x=\sum_{i=1}^{n}\bigl(r^2 i^2 + 6r i + 10\bigr)\,r,
pois \Delta x=r. Multiplicando por r dentro da soma:
\sum_{i=1}^{n}\bigl(r^3 i^2 + 6 r^2 i + 10 r\bigr).

Passo 5

Agora uso as fórmulas conhecidas para somatórios finitos:
\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \qquad \sum_{i=1}^{n} 1 = n.
Aplicando essas fórmulas à soma:
S_n=\sum_{i=1}^{n} r^3 i^2 + 6 r^2 \sum_{i=1}^{n} i + 10 r \sum_{i=1}^{n}1.
Substituindo os somatórios:
S_n = r^3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 6 r^2\frac{n(n+1)}{2} + 10 r n.

Passo 6

Relembro que r=\dfrac{3}{n}. Calculo cada termo substituindo r.
Termo 1:
r^3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{27}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{9}{2}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{n^3}.
Escrevendo n(n+1)(2n+1)=2n^3+3n^2+n e dividindo por n^3
\frac{9}{2}\left(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}\right)=9+\frac{27}{2n}+\frac{9}{2n^2}.
Termo 2:
6 r^2\frac{n(n+1)}{2}=6\cdot\frac{9}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}=27\cdot\frac{n(n+1)}{n^2}=27\left(1+\frac{1}{n}\right)=27+\frac{27}{n}.
Termo 3:
10 r n =10\cdot\frac{3}{n}\cdot n=30.
Somando os três termos:
S_n=\left(9+\frac{27}{2n}+\frac{9}{2n^2}\right)+\left(27+\frac{27}{n}\right)+30.
Agrupando:
S_n=66+\frac{27}{2n}+\frac{27}{n}+\frac{9}{2n^2}.
Somando os termos em 1/n:
\frac{27}{2n}+\frac{27}{n}=\frac{27}{2n}+\frac{54}{2n}=\frac{81}{2n}.
Logo
S_n=66+\frac{81}{2n}+\frac{9}{2n^2}.

Passo 7

Agora tomo o limite quando n\to\infty. Os termos com 1/n e 1/n^2 tendem a zero, então
\lim_{n\to\infty} S_n = 66.
Pelo teorema que conecta soma de Riemann com integral,
\int_{1}^{4}\bigl(x^{2}+4x+5\bigr)\,dx = 66.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, útil na prova): computando a primitiva basta para checar resultado. Uma antiderivada é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+2x^{2}+5x.
Então
F(4)-F(1)=\left(\frac{64}{3}+32+20\right)-\left(\frac{1}{3}+2+5\right)=\frac{63}{3}+45=21+45=66,
confirmando o resultado obtido pela soma de Riemann.

Resposta

66

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