Nos itens a seguir, use a relação
para determinar o valor exato da integral definida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor exato da integral definida usando a relação
Dados do problema:
- Função integranda:
. - Intervalo de integração:
.
O objetivo: montar a soma de Riemann paraem , passar ao limite quando e obter o valor exato da integral.
Passo 2
Dividindo o intervalo
em
subintervalos de mesmo comprimento, a largura de cada subintervalo é
Vou usar amostras nos extremos direitos de cada subintervalo (é uma escolha conveniente; qualquer escolha correta dá o mesmo limite). Assim o ponto de amostragem
no
-ésimo subintervalo é
Passo 3
Agora escrevo
. Primeiro defino
para simplificar a escrita, assim
. Calculando
:
Faço a expansão passo a passo:
Somando tudo:
Agrupando termos semelhantes:
Portanto
Passo 4
A soma de Riemann usando os
escolhidos é
pois
. Multiplicando por
dentro da soma:
Passo 5
Agora uso as fórmulas conhecidas para somatórios finitos:
Aplicando essas fórmulas à soma:
Substituindo os somatórios:
Passo 6
Relembro que
. Calculo cada termo substituindo
.
Termo 1:
Escrevendo
e dividindo por
dá
Termo 2:
Termo 3:
Somando os três termos:
Agrupando:
Somando os termos em
:
Logo
Passo 7
Agora tomo o limite quando
. Os termos com
e
tendem a zero, então
Pelo teorema que conecta soma de Riemann com integral,
Passo 8
Verificação rápida (opcional, útil na prova): computando a primitiva basta para checar resultado. Uma antiderivada é
Então
confirmando o resultado obtido pela soma de Riemann.
Resposta
66