Nos itens a seguir, determine
T]_{\beta}^{\alpha}\). \(T: R^{2} \rightarrow R^{3} ; \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(3 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}, 4 \mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{x})\) com \(\alpha \mathrm{e} \beta\) bases canônicas do \(\mathrm{R}^{2} \mathrm{e} \mathrm{R}^{3}\) respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para determinar [T]_{\beta}^{\alpha}.
Dados fornecidos:
T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3},\qquad T(x,y)=(3x-2y,\;4x+y,\;x),
e \alpha e \beta são as bases canônicas de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}, respectivamente.
Não há mais informação adicional: queremos a matriz da transformação linear T escrita com respeito à base \alpha do domínio e à base \beta do contradomínio.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente as bases canônicas. Para \mathbb{R}^{2} (base \alpha) temos
\alpha=\{e_{1},e_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\},
e para \mathbb{R}^{3} (base \beta) temos
\beta=\{f_{1},f_{2},f_{3}\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.
A maneira padrão de obter a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} é aplicar T em cada vetor da base \alpha e escrever as imagens como coordenadas na base \beta. Essas coordenadas formam as colunas da matriz.

Passo 3

Calculemos T(e_{1}). Tomando e_{1}=(1,0) temos x=1 e y=0. Substituindo em T(x,y):
T(1,0)=(3\cdot1-2\cdot0,\;4\cdot1+0,\;1)=(3,4,1).

Passo 4

Calculemos T(e_{2}). Tomando e_{2}=(0,1) temos x=0 e y=1. Substituindo:
T(0,1)=(3\cdot0-2\cdot1,\;4\cdot0+1,\;0)=(-2,1,0).

Passo 5

Explicando por que usamos essas imagens como colunas: se v\in\mathbb{R}^{2} tem coordenadas [v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} na base \alpha, e se a matriz de T tem colunas formadas por [T(e_{1})]_{\beta} e [T(e_{2})]_{\beta}, então a multiplicação dessa matriz pelo vetor coluna [v]_{\alpha} dá exatamente [T(v)]_{\beta}. É a razão pela qual as imagens dos vetores da base do domínio aparecem como colunas da matriz.

Passo 6

As coordenadas de T(e_{1}) e T(e_{2}) na base canônica \beta são, respectivamente, \begin{pmatrix}3\\\ 4\\\ 1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}. Portanto a matriz de T relativa às bases dadas é a matriz 3\times2 cujas colunas são essas coordenadas.

Passo 7

Escrevendo a matriz explicitamente:
[T]_{\beta}^{\alpha}= \begin{pmatrix} 3 & -2\\[4pt] 4 & 1\\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.
Para verificar rápido: se multiplicarmos essa matriz pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} obtemos
\begin{pmatrix} 3 & -2\\\\ 4 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3x-2y\\\ 4x+y\x\end{pmatrix},
que é justamente T(x,y). Assim a matriz está correta.
Força aí — você já tem a matriz e sabe exatamente por que as colunas são as imagens dos vetores da base. Na prova, aplique esse procedimento: calcule T nas bases do domínio e use as coordenadas obtidas como colunas.]

Resposta

[T]_{\beta}^{\alpha}= \begin{pmatrix} 3 & -2\\\\ 4 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}

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