e \alpha e \beta são as bases canônicas de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}, respectivamente.
Não há mais informação adicional: queremos a matriz da transformação linear T escrita com respeito à base \alpha do domínio e à base \beta do contradomínio.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente as bases canônicas. Para \mathbb{R}^{2} (base \alpha) temos
A maneira padrão de obter a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} é aplicar T em cada vetor da base \alpha e escrever as imagens como coordenadas na base \beta. Essas coordenadas formam as colunas da matriz.
Passo 3
Calculemos T(e_{1}). Tomando e_{1}=(1,0) temos x=1 e y=0. Substituindo em T(x,y):
T(1,0)=(3\cdot1-2\cdot0,\;4\cdot1+0,\;1)=(3,4,1).
Passo 4
Calculemos T(e_{2}). Tomando e_{2}=(0,1) temos x=0 e y=1. Substituindo:
Explicando por que usamos essas imagens como colunas: se v\in\mathbb{R}^{2} tem coordenadas [v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} na base \alpha, e se a matriz de T tem colunas formadas por [T(e_{1})]_{\beta} e [T(e_{2})]_{\beta}, então a multiplicação dessa matriz pelo vetor coluna [v]_{\alpha} dá exatamente [T(v)]_{\beta}. É a razão pela qual as imagens dos vetores da base do domínio aparecem como colunas da matriz.
Passo 6
As coordenadas de T(e_{1}) e T(e_{2}) na base canônica \beta são, respectivamente, \begin{pmatrix}3\\\ 4\\\ 1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}. Portanto a matriz de T relativa às bases dadas é a matriz 3\times2 cujas colunas são essas coordenadas.
que é justamente T(x,y). Assim a matriz está correta.
Força aí — você já tem a matriz e sabe exatamente por que as colunas são as imagens dos vetores da base. Na prova, aplique esse procedimento: calcule T nas bases do domínio e use as coordenadas obtidas como colunas.]