Nos itens a seguir, diga qual quádrica cada equação representa e indique seus elementos:
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede que se diga qual quádricas essa equação representa e que se indiquem os seus elementos (por exemplo: forma canônica, vértice/centro quando houver, tipos de secções, etc.).
Informações dadas (explicitando as variáveis): as variáveis são e os coeficientes dos termos quadráticos são
para
,
para
e não há termo
nem termos mistos
. Há termos lineares em
e termo constante
.
Informações dadas (explicitando as variáveis): as variáveis são
Passo 2
Primeiro objetivo prático: escrever a superfície numa forma mais simples traduzindo as variáveis (completar quadrados onde for necessário). Vou reorganizar a equação isolando
:
Agora complete o quadrado em
e em
. Para
:
Para
:
Passo 3
Substituindo as expressões completadas na equação isolada em
:
Somemos as constantes do lado esquerdo:
. Assim
Isolando
e escrevendo numa forma canônica translacionada:
ou, dividindo por
,
Passo 4
Interpretação da forma canônica obtida. Fazendo as substituições de translação
a equação fica
Esta é exatamente a forma padrão de uma paraboloide com termos quadráticos em duas variáveis e sinais opostos entre esses termos: uma variável (aqui
, ou seja
) é dada por uma combinação quadrática de
e
com sinais opostos. Isso caracteriza uma paraboloide hiperbólica (hyperbolic paraboloid), também chamada de sela.
Explicação didática curta: uma superfície do tipo
(com
) é uma paraboloide hiperbólica porque, para cortes em planos paralelos aos planos coordenados, aparecem parábolas (quando se fixa
ou
) e hipérbolas (quando se fixa
) — comportamento típico da sela.
Passo 5
Determinar o vértice (ponto de translação onde
). Tomando
e
dá
, ou seja
Logo o vértice (ponto onde a superfície tem o “ponto de sela”) é
Passo 6
Descrever os elementos importantes / traços da superfície (como se reconhece na prova):
- Equação canônica (centrada no vértice):
-
Vértice:
. -
Traços (secções por planos coordenados e interpretação):
- Plano
(ou ): a equação fica que é uma parábola em coordenadas vs com concavidade negativa em (abre no sentido decrescente de ). - Plano
(ou ): a equação fica que é uma parábola em vs com concavidade positiva em . - Plano
(ou constante): a equação transforma-se em que é, em geral, uma hipérbole no plano (quando a constante é não nula). Isso confirma o nome “hiperbólica” nas secções horizontais.
- Plano
-
Centro: não existe centro de simetria (paraboloide hiperbólico não é uma quádricas central). Em vez disso, tem o vértice/sela já apontado.
Passo 7
Resumo geométrico e observações úteis para prova:
- A superfície é uma paraboloide hiperbólica (sela).
- Pode-se sempre chegar à forma canônica completando quadrados como fizemos, o que permite ler imediatamente o tipo (sinais dos quadráticos e se uma variável aparece só em grau 1 indica paraboloide).
- Use as secções por planos simples (
const, const, const) para identificar parábolas e hipérboles e para esboçar a superfície rapidamente.
Resposta
Paraboloide hiperbólico (sela).
Equação canônica: .
Vértice: .
Secções: para obtém-se
(parábola); para
obtém-se
(parábola); para
constante obtém-se hipérbole no plano
.
Equação canônica:
Vértice:
Secções: para