Nos itens a seguir, diga qual quádrica cada equação representa e indique seus elementos:
y^{2}-4 z^{2}-4 x-6 y-24 z-31=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação
y^{2}-4 z^{2}-4 x-6 y-24 z-31=0
e pede que se diga qual quádricas essa equação representa e que se indiquem os seus elementos (por exemplo: forma canônica, vértice/centro quando houver, tipos de secções, etc.).
Informações dadas (explicitando as variáveis): as variáveis são x,y,z e os coeficientes dos termos quadráticos são 1 para y^{2}, -4 para z^{2} e não há termo x^{2} nem termos mistos xy,xz,yz. Há termos lineares em x,y,z e termo constante -31.

Passo 2

Primeiro objetivo prático: escrever a superfície numa forma mais simples traduzindo as variáveis (completar quadrados onde for necessário). Vou reorganizar a equação isolando x:
y^{2}-4 z^{2}-6y-24z-31=4x.
Agora complete o quadrado em y e em z. Para y:
y^{2}-6y=(y-3)^{2}-9.
Para z:
-4z^{2}-24z=-4\bigl(z^{2}+6z\bigr)=-4\bigl((z+3)^{2}-9\bigr)=-4(z+3)^{2}+36.

Passo 3

Substituindo as expressões completadas na equação isolada em x:
(y-3)^{2}-9 \;+\; \bigl(-4(z+3)^{2}+36\bigr) \; -31 \;=\; 4x.
Somemos as constantes do lado esquerdo: -9+36-31=-4. Assim
(y-3)^{2}-4(z+3)^{2}-4=4x.
Isolando x e escrevendo numa forma canônica translacionada:
4x+4=(y-3)^{2}-4(z+3)^{2}
ou, dividindo por 4,
x+1=\frac{1}{4}(y-3)^{2}-(z+3)^{2}.

Passo 4

Interpretação da forma canônica obtida. Fazendo as substituições de translação
u=y-3,\qquad v=z+3,\qquad w=x+1,
a equação fica
w=\frac{1}{4}u^{2}-v^{2}.
Esta é exatamente a forma padrão de uma paraboloide com termos quadráticos em duas variáveis e sinais opostos entre esses termos: uma variável (aqui w, ou seja x+1) é dada por uma combinação quadrática de u e v com sinais opostos. Isso caracteriza uma paraboloide hiperbólica (hyperbolic paraboloid), também chamada de sela.
Explicação didática curta: uma superfície do tipo w = A u^{2} - B v^{2} (com A,B>0) é uma paraboloide hiperbólica porque, para cortes em planos paralelos aos planos coordenados, aparecem parábolas (quando se fixa u ou v) e hipérbolas (quando se fixa w) — comportamento típico da sela.

Passo 5

Determinar o vértice (ponto de translação onde u=v=0). Tomando u=0 e v=0 w=0, ou seja
y-3=0,\quad z+3=0,\quad x+1=0.
Logo o vértice (ponto onde a superfície tem o “ponto de sela”) é
(-1,\;3,\;-3).

Passo 6

Descrever os elementos importantes / traços da superfície (como se reconhece na prova):
  • Equação canônica (centrada no vértice):
x+1=\frac{1}{4}(y-3)^{2}-(z+3)^{2}.
  • Vértice: (-1,3,-3).
  • Traços (secções por planos coordenados e interpretação):
    • Plano y=3 (ou u=0): a equação fica x+1=-(z+3)^{2},que é uma parábola em coordenadas x vs z com concavidade negativa em x (abre no sentido decrescente de x).
    • Plano z=-3 (ou v=0): a equação fica x+1=\frac{1}{4}(y-3)^{2},que é uma parábola em x vs y com concavidade positiva em x.
    • Plano x=\text{const} (ou w= constante): a equação transforma-se em \frac{1}{4}(y-3)^{2}-(z+3)^{2}=\text{const},que é, em geral, uma hipérbole no plano y\!-\!z (quando a constante é não nula). Isso confirma o nome “hiperbólica” nas secções horizontais.
  • Centro: não existe centro de simetria (paraboloide hiperbólico não é uma quádricas central). Em vez disso, tem o vértice/sela já apontado.

Passo 7

Resumo geométrico e observações úteis para prova:
  • A superfície é uma paraboloide hiperbólica (sela).
  • Pode-se sempre chegar à forma canônica completando quadrados como fizemos, o que permite ler imediatamente o tipo (sinais dos quadráticos e se uma variável aparece só em grau 1 indica paraboloide).
  • Use as secções por planos simples ( y=const, z=const, x=const) para identificar parábolas e hipérboles e para esboçar a superfície rapidamente.

Resposta

Paraboloide hiperbólico (sela).
Equação canônica: x+1=\dfrac{1}{4}(y-3)^{2}-(z+3)^{2}.
Vértice: (-1,3,-3).
Secções: para y=3 obtém-se x+1=-(z+3)^{2} (parábola); para z=-3 obtém-se x+1=\tfrac{1}{4}(y-3)^{2} (parábola); para x= constante obtém-se hipérbole no plano y\!-\!z.

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