Nos itens a seguir, diga qual quádrica cada equação representa e indique seus elementos:
Passo 1
O enunciado fornece a equação da quadrâtica
O que se pede: identificar que tipo de quádrica essa equação representa e indicar os seus elementos (vértice, eixo, concavidade, equações das seções/traços relevantes, etc.). Vou listar aqui apenas o que foi dado e o que é pedido, sem resolver nada ainda.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: reorganizar termos por variáveis e completar quadrados para
e
. Escrevo a equação agrupando termos em
e
:
Agora completo o quadrado em
:
e em
(lembrando de fatorar o
):
Passo 3
Substituo essas expressões na equação original:
Somando as constantes
, obtenho
Isolo
:
portanto
Passo 4
Interpretação da forma obtida. A equação está escrita como soma de termos quadráticos positivos em
e
igual a uma função afim de
. Em particular temos
Isso é a forma canônica de um paraboloide elíptico que abre na direção positiva do eixo
. Explicando por que:
- Há dois termos quadráticos (um em
e outro em ) com coeficientes positivos: isso produz secções horizontais elípticas. - A variável
aparece apenas em termo linear aqui (isolada), o que caracteriza uma superfície parabólica (em vez de elipsoide ou hiperboloide).
Passo 5
Encontro do vértice e do eixo. O vértice é o ponto onde as parcelas quadráticas anulam-se simultaneamente, isto é onde
e
. Substituindo na expressão de
:
Logo o vértice é
.
O eixo do paraboloide é a reta que passa pelo vértice e segue a direção em que
e
permanecem nulos enquanto
varia; portanto o eixo é paralelo ao vetor
. Uma equação paramétrica para o eixo é
ou em forma cartesiana:
Passo 6
Traços (seções) e formato das elipses horizontais. Fixando
e usando a forma canônica:
- Se
a direita dá número negativo e não há pontos reais; portanto a superfície só existe para . - Para
a seção reduz-se ao ponto (vértice). - Para
obtemos elipses centradas em de equação
Assim os semi-eixos da elipse na altura
são
ou seja, as elipses têm razão
constante.
Passo 7
Seções verticais e parâmetros parabólicos. As seções por planos que contêm o eixo (por exemplo
ou
) são parábolas:
- Para
: , que é uma parábola em com forma padrão (foco a unidade acima do vértice nessa seção). - Para
: , que é outra parábola em (nesta seção o parâmetro focal é diferente, mostrando que o foco de uma seção vertical depende da direção — por isso não há um único foco comum a toda a superfície, ao contrário do paraboloide circular).
Passo 8
Resumo didático (o que lembrar na hora da prova):
- Completar quadrados em
e é a rota mais direta. - Se depois de completar quadrados fica
soma de quadrados (com coeficientes positivos) + constante, então é um paraboloide elíptico que abre para o sinal positivo de . - Vértice obtém-se anulando os parênteses quadráticos; eixo é a reta onde as coordenadas transversais ao eixo são constantes (aquelas que anularam os quadrados).
- Traços horizontais (planos
constante) mostram se abre para cima/baixo e dão elipses com semi-eixos calculáveis.
Resposta
Paraboloide elíptico.
Vértice: .
Eixo: reta (direção
), abre para
.
Equação canônica: .
Seções horizontais ( ):
— elipses para
com semi-eixos
e
.
Vértice:
Eixo: reta
Equação canônica:
Seções horizontais (