Nos itens a seguir, diga qual quádrica cada equação representa e indique seus elementos:
x^{2}+4 y^{2}+8 x-8 y-4 z+28=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação da quadrâtica
x^{2}+4 y^{2}+8 x-8 y-4 z+28=0.
O que se pede: identificar que tipo de quádrica essa equação representa e indicar os seus elementos (vértice, eixo, concavidade, equações das seções/traços relevantes, etc.). Vou listar aqui apenas o que foi dado e o que é pedido, sem resolver nada ainda.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: reorganizar termos por variáveis e completar quadrados para x e y. Escrevo a equação agrupando termos em x e y:
x^{2}+8x \;+\; 4y^{2}-8y \;-\;4z+28=0.
Agora completo o quadrado em x:
x^{2}+8x = (x+4)^{2}-16,
e em y (lembrando de fatorar o 4):
4y^{2}-8y = 4\big(y^{2}-2y\big) = 4\big((y-1)^{2}-1\big)=4(y-1)^{2}-4.

Passo 3

Substituo essas expressões na equação original:
(x+4)^{2}-16 \;+\; 4(y-1)^{2}-4 \;-\;4z+28=0.
Somando as constantes -16-4+28=8, obtenho
(x+4)^{2}+4(y-1)^{2}-4z+8=0.
Isolo z:
-4z = -\big((x+4)^{2}+4(y-1)^{2}+8\big)
portanto
z = \tfrac{1}{4}(x+4)^{2} + (y-1)^{2} + 2.

Passo 4

Interpretação da forma obtida. A equação está escrita como soma de termos quadráticos positivos em x e y igual a uma função afim de z. Em particular temos
z-2 = \tfrac{1}{4}(x+4)^{2} + (y-1)^{2}.
Isso é a forma canônica de um paraboloide elíptico que abre na direção positiva do eixo z. Explicando por que:
  • Há dois termos quadráticos (um em x e outro em y) com coeficientes positivos: isso produz secções horizontais elípticas.
  • A variável z aparece apenas em termo linear aqui (isolada), o que caracteriza uma superfície parabólica (em vez de elipsoide ou hiperboloide).

Passo 5

Encontro do vértice e do eixo. O vértice é o ponto onde as parcelas quadráticas anulam-se simultaneamente, isto é onde x+4=0 e y-1=0. Substituindo na expressão de z:
x=-4,\qquad y=1 \quad\Rightarrow\quad z=2.
Logo o vértice é \,(-4,1,2).
O eixo do paraboloide é a reta que passa pelo vértice e segue a direção em que x+4 e y-1 permanecem nulos enquanto z varia; portanto o eixo é paralelo ao vetor (0,0,1). Uma equação paramétrica para o eixo é
\big(x,y,z\big)=(-4,1,2+t),\\ t\in\mathbb{R},
ou em forma cartesiana: x=-4,\\ y=1.

Passo 6

Traços (seções) e formato das elipses horizontais. Fixando z=k e usando a forma canônica:
(x+4)^{2}+4(y-1)^{2}=4(k-2).
  • Se k<2 a direita dá número negativo e não há pontos reais; portanto a superfície só existe para z\ge 2.
  • Para k=2 a seção reduz-se ao ponto (-4,1,2) (vértice).
  • Para k>2 obtemos elipses centradas em (-4,1,k) de equação
\frac{(x+4)^{2}}{4(k-2)}+\frac{(y-1)^{2}}{(k-2)}=1.
Assim os semi-eixos da elipse na altura z=k são
a = 2\sqrt{k-2}\quad\text{(direção }x\text{)},\qquad b=\sqrt{k-2}\quad\text{(direção }y\text{)},çãçã
ou seja, as elipses têm razão a:b=2:1 constante.

Passo 7

Seções verticais e parâmetros parabólicos. As seções por planos que contêm o eixo (por exemplo y=1 ou x=-4) são parábolas:
  • Para y=1: z-2=\tfrac{1}{4}(x+4)^{2}, que é uma parábola em x\!-\!z com forma padrão (x+4)^{2}=4(z-2) (foco a 1 unidade acima do vértice nessa seção).
  • Para x=-4: z-2=(y-1)^{2}, que é outra parábola em y\!-\!z (nesta seção o parâmetro focal é diferente, mostrando que o foco de uma seção vertical depende da direção — por isso não há um único foco comum a toda a superfície, ao contrário do paraboloide circular).

Passo 8

Resumo didático (o que lembrar na hora da prova):
  • Completar quadrados em x e y é a rota mais direta.
  • Se depois de completar quadrados fica z= soma de quadrados (com coeficientes positivos) + constante, então é um paraboloide elíptico que abre para o sinal positivo de z.
  • Vértice obtém-se anulando os parênteses quadráticos; eixo é a reta onde as coordenadas transversais ao eixo são constantes (aquelas que anularam os quadrados).
  • Traços horizontais (planos z= constante) mostram se abre para cima/baixo e dão elipses com semi-eixos calculáveis.

Resposta

Paraboloide elíptico.
Vértice: (-4,1,2).
Eixo: reta x=-4,\\ y=1 (direção (0,0,1) ), abre para +\!z.
Equação canônica: z-2=\tfrac{1}{4}(x+4)^{2}+(y-1)^{2}.
Seções horizontais ( z=k): (x+4)^{2}+4(y-1)^{2}=4(k-2) — elipses para k>2 com semi-eixos a=2\sqrt{k-2} e b=\sqrt{k-2}.

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