Nos itens a seguir, diga qual quádrica cada equação representa e indique seus elementos:
x^{2}-2 y+y^{2}=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação
x^{2}-2y+y^{2}=0
e pede para: identificar qual quádrica essa equação representa e indicar seus elementos relevantes (por exemplo: centro, raio, equação na forma padrão, e outras propriedades importantes). Essas são as únicas informações dadas.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação reunindo os termos em x e em y. Escrevendo na ordem mais comum:
x^{2}+y^{2}-2y=0.
Aqui temos termos quadráticos em x e y, um termo linear em y e nenhum termo linear em x nem termo misto xy.

Passo 3

Para identificar a forma geométrica e seus elementos, uma técnica muito útil é completar o quadrado nas variáveis que aparecem com termos quadráticos mais termos lineares. Vou completar o quadrado em y. Começo isolando os termos em y:
x^{2}+\bigl(y^{2}-2y\bigr)=0.
Completar o quadrado em y^{2}-2y significa escrever isso como (y-k)^{2} menos um ajuste. Lembrando a identidade
(y-k)^{2}=y^{2}-2ky+k^{2},
para obter o termo -2y preciso escolher k=1, porque -2k=-2 implica k=1. Então
y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1.
Substituindo isso na equação:
x^{2}+\bigl((y-1)^{2}-1\bigr)=0.

Passo 4

Agora simplifico a expressão:
x^{2}+(y-1)^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+(y-1)^{2}=1.
Esta é a forma padrão conhecida da equação de um círculo. A forma padrão do círculo de centro (x_{0},y_{0}) e raio R é
(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=R^{2}.
Comparando com \,x^{2}+(y-1)^{2}=1, vemos que x-x_{0}=x-0 e y-y_{0}=y-1. Portanto o centro é (0,1) e o raio é 1.

Passo 5

Vou explicar por que esse resultado faz sentido e listar os elementos importantes do círculo, além de dar formas alternativas de verificação:
  • Verificação pela condição de coeficientes: uma cônica geral tem forma Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0. Aqui A=1, B=0, C=1, D=0, E=-2, F=0. A quantidade B^{2}-4AC é usada para classificar cônicas:
    B^{2}-4AC=0^{2}-4\cdot1\cdot1=-4<0,
    o que indica uma elipse (quando A e C têm mesmo sinal). Como A=C e B=0, a elipse é, especificamente, um círculo. Então a classificação por coeficientes confirma o resultado da completação de quadrado.
  • Centro: obtido pela complet. de quadrado ou pela fórmula direta (quando B=0) x_{0}=-\dfrac{D}{2A}, y_{0}=-\dfrac{E}{2C}. Aplicando aqui:
    x_{0}=-\frac{0}{2\cdot1}=0,\qquad y_{0}=-\frac{-2}{2\cdot1}=1.
  • Raio: obtido como \sqrt{R^{2}} da forma padrão; aqui R^{2}=1 então R=1.
  • Equação na forma padrão (já encontrada):
    (x-0)^{2}+(y-1)^{2}=1.
  • Parametrização (útil para esboçar ou integrar sobre o círculo):
    x=\cos t,\qquad y=1+\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
  • Eixos de simetria: as retas que passam pelo centro e são paralelas aos eixos coordenados são eixos de simetria do círculo. Aqui são as retas
    x=0\quad\text{e}\quad y=1.
  • Outros elementos numéricos (opcionais): área e perímetro do círculo são
    \text{área}=\pi R^{2}=\pi\cdot1^{2}=\pi,\qquad \text{perímetro}=2\pi R=2\pi.áí

Passo 6

Resumo da técnica utilizada (dica para prova): ao ver uma equação quadrática em x,y,
  • tente completar o quadrado em uma ou ambas variáveis para reduzir à forma padrão de círculo/ elipse/parábola/hipérbole;
  • alternativamente, use o discriminante B^{2}-4AC para classificar rapidamente entre elipse ( <0), parábola ( =0) e hipérbole ( >0); se for elipse, verifique se A=C e B=0 para reconhecer um círculo;
  • se precisar do centro, completar quadrado dá o centro diretamente, ou use x_{0}=-D/(2A), y_{0}=-E/(2C) quando B=0.

Resposta

Círculo de centro (0,1) e raio 1.

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