Nos itens a seguir, diga qual quádrica cada equação representa e indique seus elementos:
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede para: identificar qual quádrica essa equação representa e indicar seus elementos relevantes (por exemplo: centro, raio, equação na forma padrão, e outras propriedades importantes). Essas são as únicas informações dadas.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação reunindo os termos em
e em
. Escrevendo na ordem mais comum:
Aqui temos termos quadráticos em
e
, um termo linear em
e nenhum termo linear em
nem termo misto
.
Passo 3
Para identificar a forma geométrica e seus elementos, uma técnica muito útil é completar o quadrado nas variáveis que aparecem com termos quadráticos mais termos lineares. Vou completar o quadrado em
. Começo isolando os termos em
:
Completar o quadrado em
significa escrever isso como
menos um ajuste. Lembrando a identidade
para obter o termo
preciso escolher
, porque
implica
. Então
Substituindo isso na equação:
Passo 4
Agora simplifico a expressão:
Esta é a forma padrão conhecida da equação de um círculo. A forma padrão do círculo de centro
e raio
é
Comparando com
, vemos que
e
. Portanto o centro é
e o raio é
.
Passo 5
Vou explicar por que esse resultado faz sentido e listar os elementos importantes do círculo, além de dar formas alternativas de verificação:
-
Verificação pela condição de coeficientes: uma cônica geral tem forma
. Aqui , , , , , . A quantidade é usada para classificar cônicas: o que indica uma elipse (quandoe têm mesmo sinal). Como e , a elipse é, especificamente, um círculo. Então a classificação por coeficientes confirma o resultado da completação de quadrado. -
Centro: obtido pela complet. de quadrado ou pela fórmula direta (quando
) , . Aplicando aqui: -
Raio: obtido como
da forma padrão; aqui então . -
Equação na forma padrão (já encontrada):
-
Parametrização (útil para esboçar ou integrar sobre o círculo):
-
Eixos de simetria: as retas que passam pelo centro e são paralelas aos eixos coordenados são eixos de simetria do círculo. Aqui são as retas
-
Outros elementos numéricos (opcionais): área e perímetro do círculo são
Passo 6
Resumo da técnica utilizada (dica para prova): ao ver uma equação quadrática em
,
- tente completar o quadrado em uma ou ambas variáveis para reduzir à forma padrão de círculo/ elipse/parábola/hipérbole;
- alternativamente, use o discriminante
para classificar rapidamente entre elipse ( ), parábola ( ) e hipérbole ( ); se for elipse, verifique se e para reconhecer um círculo; - se precisar do centro, completar quadrado dá o centro diretamente, ou use
, quando .
Resposta
Círculo de centro
e raio
.