Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} um operador linear cuja representação matricial na base canônica é:
[T]=\left[\begin{array}{ll} 0 & a \\\ b & 0 \end{array}\right]
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz na base canônica é
[T]=\begin{pmatrix}0 & a\\[4pt] b & 0\end{pmatrix}.
Vou estudar esse operador passo a passo e responder, de forma concreta e prática, as perguntas que normalmente caem em prova sobre esse tipo de matriz:
Quais são os valores próprios (\emph{autovalores}) de T?
Quais são os vetores próprios (\emph{autovetores}) correspondentes?
Qual o polinômio característico, o traço e o determinante?
Quando T é invertível e qual é T^{-1} nesses casos?
Qual é T^2 e, em geral, T^n?
Qual o núcleo (\ker T) e a imagem (\operatorname{Im} T)?
Quando T é diagonalizável sobre \mathbb{R} e sobre \mathbb{C}?
Interpretações geométricas simples dependendo de a e b.
Não vou pular etapas: cada cálculo será mostrado e explicado para você conseguir reproduzir isso na prova.]
Passo 2
Começo calculando o polinômio característico. Por definição, ele é \det([T]-\lambda I). Então:
[T]-\lambda I=\begin{pmatrix}-\lambda & a\\[4pt] b & -\lambda\end{pmatrix}.
Logo o polinômio característico é \lambda^2-ab. Isso já é uma informação poderosa: as raízes desse polinômio são os autovalores de T.]
Passo 3
A partir de \lambda^2-ab=0 obtemos os autovalores:
\lambda=\pm\sqrt{ab}.
Agora é importante interpretar esse resultado dependendo do sinal de ab:
Se ab>0, então \sqrt{ab}\in\mathbb{R} e os autovalores são dois reais distintos \lambda_1=+\sqrt{ab} e \lambda_2=-\sqrt{ab}.
Se ab=0, então ambos os autovalores são \lambda=0 (multiplicidade 2).
Se ab<0, então \sqrt{ab} é imaginário; escrevendo \mu=\sqrt{-ab}>0 temos \lambda=\pm i\mu (autovalores complexos conjugados).
Vou explicar depois o que cada caso implica na diagonalização e no comportamento da transformação.
Passo 4
Agora encontro autovetores. A equação ([T]-\lambda I)v=0\) dá o sistema
\[\begin{cases} -\lambda x + a y = 0,\\[4pt] b x - \lambda y = 0. \end{cases}
Da primeira equação segue a y=\lambda x\] (ou \(y=\dfrac{\lambda}{a}x se a\neq0). Da segunda segue b x=\lambda y (ou y=\dfrac{b}{\lambda}x se \lambda\neq0). Essas duas expressões para y coincidem exatamente quando \lambda^2=ab, que é o que já usamos — então há uma família de soluções.
Para um autovalor \lambda com ab\neq0 (ou seja a\neq0 e b\neq0), uma escolha simples de autovetor é pegar x=a; então da primeira equação a y=\lambda a e obtemos
Verifique rapidamente: [T]v_\lambda = \begin{pmatrix}0 & a\\\ b & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\\ \lambda\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\lambda\\\ b a\end{pmatrix} = \lambda\begin{pmatrix}a\\\ \lambda\end{pmatrix} porque \lambda^2=ab. Portanto v_\lambda é de fato autovetor.
Observações sobre casos degenerados:
Se a=0 e b=0 então toda a matriz é nula e qualquer vetor é autovetor com autovalor 0.
Se a=0 e b\neq0: a matriz é \begin{pmatrix}0&0\\\ b&0\end{pmatrix}. Da equação a y=\lambda x vem 0=\lambda x então x=0 se \lambda\neq0, mas aqui os autovalores vêm de \lambda^2=0 logo \lambda=0 dupla; resolvendo [T]v=0 obtemos vetores da forma (x,0) com x livre? Vamos resolver: para \lambda=0 as equações são a y=0 (trivial) e b x=0 então x=0. Assim \ker T = \operatorname{span}\{(0,1)\} e há apenas uma direção própria — caso não diagonalizável (nilpotente de ordem 2). (Idêntico raciocínio para b=0,a\neq0.)]
Passo 5
Calculo do traço e determinante (coisas rápidas mas que caem em prova):
O traço é a soma dos elementos da diagonal: \operatorname{tr}([T])=0+0=0.
O determinante é produto dos autovalores ou diretamente \det([T])=-ab. Observação: o polinômio característico \lambda^2-ab=\lambda^2-(-\det([T])) é consistente com isso.
Passo 6
Invertibilidade. Uma matriz 2\times2 é invertível se, e somente se, \det\neq0. Aqui:
\det([T])=-ab.
Logo T é invertível \iff ab\neq0. Quando ab\neq0 a inversa pode ser calculada com a fórmula da inversa de 2\times2:
Se ab\neq0 então essas duas colunas são linearmente independentes e \operatorname{Im}([T])=\mathbb{R}^2.
Se a\neq0,b=0 então \operatorname{Im}([T])=\operatorname{span}\{(a,0)\}=\operatorname{span}\{(1,0)\}.
Se a=0,b\neq0 então \operatorname{Im}([T])=\operatorname{span}\{(0,b)\}=\operatorname{span}\{(0,1)\}.
Se a=b=0 então \operatorname{Im}([T])=\{0\}.
O núcleo surge de resolver [T]v=0, i.e. sistema a y=0,\; b x=0. Assim:
Se ab\neq0 então x=0,y=0 e \ker([T])=\{0\}.
Se a\neq0,b=0 então b x=0 é trivial e a y=0 implica y=0; assim \ker([T])=\operatorname{span}\{(1,0)\}.
Se a=0,b\neq0 então \ker([T])=\operatorname{span}\{(0,1)\}.
Se a=b=0 então \ker([T])=\mathbb{R}^2.
Lembre-se da relação dimensão: \dim\ker+\dim\operatorname{Im}=2, e os casos acima satisfazem isso.
Passo 9
Diagonalização — quando isso acontece? Regras práticas:
Se ab>0 então os autovalores \pm\sqrt{ab} são reais e distintos. Autovalores distintos garantem que existem dois autovetores linearmente independentes, logo T é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Na prova, basta mostrar autovalores distintos para concluir diagonalizabilidade.
Se ab<0 então os autovalores são complexos \pm i\mu com \mu=\sqrt{-ab}. Nesse caso não há autovetores reais não-nulos (os autovetores são complexos) e T não é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Porém, sobre \mathbb{C} os autovalores são distintos (\pm i\mu), logo T é diagonalizável sobre \mathbb{C}.
Se ab=0 e a matriz não for a nula (ou seja apenas um dos dois é zero), então o único autovalor é 0 com multiplicidade 2, mas há apenas uma direção própria — a matriz é semelhante a uma Jordan block e NÃO é diagonalizável (é nilpotente de índice 2). Se a=b=0 aí a matriz já é a diagonal zero e está “diagonalizada” (mas trivialmente).
Resumo simples que vale decorar: diagonalizável sobre \mathbb{R} exatamente quando ab>0; diagonalizável sobre \mathbb{C} quando ab\neq0 (autovalores distintos).
Passo 10
Interpretação geométrica rápida (para você ter intuição na prova):
Caso ab>0: há duas direções próprias reais ortogonais? Nem sempre ortogonais, mas há duas retas invariantes (linhas próprias) associadas aos autovalores \pm\sqrt{ab}. Em cada reta o vetor é apenas escalado (positivo ou negativo).
Caso ab<0: o operador faz algo parecido com uma rotação combinada com escala: como [T]^2=-\mu^2 I (\mu=\sqrt{-ab}), quando aplicado duas vezes ele equivale a uma homotetia com fator -\mu^2. Isso lembra uma rotação (multiplicação por i) com escala \mu.
Caso ab=0 não trivial: é um \emph{shear}/mapa nilpotente (aplica algo que colapsa uma dimensão depois de duas aplicações).
Essas interpretações ajudam a responder questões conceituais ou desenhar o efeito de T num exercício.
Invertibilidade: T é invertível se, e somente se, ab\neq0. Nesse caso [T]^{-1}=\begin{pmatrix}0 & 1/b\\[4pt] 1/a & 0\end{pmatrix} e [T]^{-1}=\dfrac{1}{ab}[T].
Quadrado e potências: [T]^2=ab\,I. Em geral [T]^{2k}=(ab)^k I e [T]^{2k+1}=(ab)^k [T] para k\in\mathbb{N}.
Autovetores (quando ab\neq0): para autovalor \lambda um autovetor conveniente é v_\lambda=\begin{pmatrix}a\\[4pt]\lambda\end{pmatrix} (ou v_\lambda=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda/a\end{pmatrix}).
Núcleo e imagem: \ker([T]) e \operatorname{Im}([T]) dependem de a,b conforme explicado (se ab\neq0, \ker=\{0\} e \operatorname{Im}=\mathbb{R}^2; se apenas um entre a,b for zero, então \ker e \operatorname{Im} têm dimensão 1; se a=b=0 então \ker=\mathbb{R}^2 e \operatorname{Im}=\{0\}).
Diagonalizabilidade: sobre \mathbb{R}, T é diagonalizável \iff ab>0. Sobre \mathbb{C}, T é diagonalizável \iff ab\neq0.]