Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} um operador linear cuja representação matricial na base canônica é:
[T]=\left[\begin{array}{ll} 0 & a \\\ b & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz na base canônica é
[T]=\begin{pmatrix}0 & a\\[4pt] b & 0\end{pmatrix}.
Vou estudar esse operador passo a passo e responder, de forma concreta e prática, as perguntas que normalmente caem em prova sobre esse tipo de matriz:
  • Quais são os valores próprios (\emph{autovalores}) de T?
  • Quais são os vetores próprios (\emph{autovetores}) correspondentes?
  • Qual o polinômio característico, o traço e o determinante?
  • Quando T é invertível e qual é T^{-1} nesses casos?
  • Qual é T^2 e, em geral, T^n?
  • Qual o núcleo ( \ker T) e a imagem ( \operatorname{Im} T)?
  • Quando T é diagonalizável sobre \mathbb{R} e sobre \mathbb{C}?
  • Interpretações geométricas simples dependendo de a e b.
Não vou pular etapas: cada cálculo será mostrado e explicado para você conseguir reproduzir isso na prova.]

Passo 2

Começo calculando o polinômio característico. Por definição, ele é \det([T]-\lambda I). Então:
[T]-\lambda I=\begin{pmatrix}-\lambda & a\\[4pt] b & -\lambda\end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é
\det([T]-\lambda I)=(-\lambda)(-\lambda)-ab=\lambda^2-ab.
Logo o polinômio característico é \lambda^2-ab. Isso já é uma informação poderosa: as raízes desse polinômio são os autovalores de T.]

Passo 3

A partir de \lambda^2-ab=0 obtemos os autovalores:
\lambda=\pm\sqrt{ab}.
Agora é importante interpretar esse resultado dependendo do sinal de ab:
  • Se ab>0, então \sqrt{ab}\in\mathbb{R} e os autovalores são dois reais distintos \lambda_1=+\sqrt{ab} e \lambda_2=-\sqrt{ab}.
  • Se ab=0, então ambos os autovalores são \lambda=0 (multiplicidade 2).
  • Se ab<0, então \sqrt{ab} é imaginário; escrevendo \mu=\sqrt{-ab}>0 temos \lambda=\pm i\mu (autovalores complexos conjugados).
Vou explicar depois o que cada caso implica na diagonalização e no comportamento da transformação.

Passo 4

Agora encontro autovetores. A equação ([T]-\lambda I)v=0\) dá o sistema \[\begin{cases} -\lambda x + a y = 0,\\[4pt] b x - \lambda y = 0. \end{cases}
Da primeira equação segue a y=\lambda x\] (ou \(y=\dfrac{\lambda}{a}x se a\neq0). Da segunda segue b x=\lambda y (ou y=\dfrac{b}{\lambda}x se \lambda\neq0). Essas duas expressões para y coincidem exatamente quando \lambda^2=ab, que é o que já usamos — então há uma família de soluções.
Para um autovalor \lambda com ab\neq0 (ou seja a\neq0 e b\neq0), uma escolha simples de autovetor é pegar x=a; então da primeira equação a y=\lambda a e obtemos
v_\lambda=\begin{pmatrix}a\\[4pt]\lambda\end{pmatrix}.
Verifique rapidamente: [T]v_\lambda = \begin{pmatrix}0 & a\\\ b & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\\ \lambda\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\lambda\\\ b a\end{pmatrix} = \lambda\begin{pmatrix}a\\\ \lambda\end{pmatrix} porque \lambda^2=ab. Portanto v_\lambda é de fato autovetor.
Observações sobre casos degenerados:
  • Se a=0 e b=0 então toda a matriz é nula e qualquer vetor é autovetor com autovalor 0.
  • Se a=0 e b\neq0: a matriz é \begin{pmatrix}0&0\\\ b&0\end{pmatrix}. Da equação a y=\lambda x vem 0=\lambda x então x=0 se \lambda\neq0, mas aqui os autovalores vêm de \lambda^2=0 logo \lambda=0 dupla; resolvendo [T]v=0 obtemos vetores da forma (x,0) com x livre? Vamos resolver: para \lambda=0 as equações são a y=0 (trivial) e b x=0 então x=0. Assim \ker T = \operatorname{span}\{(0,1)\} e há apenas uma direção própria — caso não diagonalizável (nilpotente de ordem 2). (Idêntico raciocínio para b=0,a\neq0.)]

Passo 5

Calculo do traço e determinante (coisas rápidas mas que caem em prova):
  • O traço é a soma dos elementos da diagonal: \operatorname{tr}([T])=0+0=0.
  • O determinante é produto dos autovalores ou diretamente \det([T])=-ab. Observação: o polinômio característico \lambda^2-ab=\lambda^2-(-\det([T])) é consistente com isso.

Passo 6

Invertibilidade. Uma matriz 2\times2 é invertível se, e somente se, \det\neq0. Aqui:
\det([T])=-ab.
Logo T é invertível \iff ab\neq0. Quando ab\neq0 a inversa pode ser calculada com a fórmula da inversa de 2\times2:
[T]^{-1}=\frac{1}{\det([T])}\begin{pmatrix}0 & -a\\[4pt] -b & 0\end{pmatrix} =\frac{1}{-ab}\begin{pmatrix}0 & -a\\[4pt] -b & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 1/b\\[4pt] 1/a & 0\end{pmatrix}.
Uma observação elegante que vale a pena decorar (útil na prova): quando ab\neq0 tem-se
[T]^2 = ab\,I,
pois
\begin{pmatrix}0 & a\\\ b & 0\end{pmatrix}^2 =\begin{pmatrix}a b & 0\\[4pt] 0 & b a\end{pmatrix} =ab\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Dessa identidade segue imediatamente que, quando ab\neq0,
[T]^{-1}=\frac{1}{ab}[T],
o que coincide com o cálculo direto acima (você pode verificar multiplicando [T] por \dfrac{1}{ab}[T]).]

Passo 7

Potências da matriz — fórmula prática para a prova. A observação [T]^2=ab\,I torna muito fácil calcular potências:
  • Por indução, para k\in\mathbb{N},
[T]^{2k}=(ab)^k I, \qquad [T]^{2k+1}=(ab)^k [T].
Isso resolve rapidamente qualquer questão do tipo calcule [T]^n sem multiplicar várias vezes.

Passo 8

Núcleo e imagem (formas concretas para a prova). As colunas de [T] são \begin{pmatrix}0\\\ b\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}a\\\\ 0\end{pmatrix}, então
\operatorname{Im}([T])=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}0\\\ b\end{pmatrix},\begin{pmatrix}a\\\\ 0\end{pmatrix}\right\}.
  • Se ab\neq0 então essas duas colunas são linearmente independentes e \operatorname{Im}([T])=\mathbb{R}^2.
  • Se a\neq0,b=0 então \operatorname{Im}([T])=\operatorname{span}\{(a,0)\}=\operatorname{span}\{(1,0)\}.
  • Se a=0,b\neq0 então \operatorname{Im}([T])=\operatorname{span}\{(0,b)\}=\operatorname{span}\{(0,1)\}.
  • Se a=b=0 então \operatorname{Im}([T])=\{0\}.
O núcleo surge de resolver [T]v=0, i.e. sistema a y=0,\; b x=0. Assim:
  • Se ab\neq0 então x=0,y=0 e \ker([T])=\{0\}.
  • Se a\neq0,b=0 então b x=0 é trivial e a y=0 implica y=0; assim \ker([T])=\operatorname{span}\{(1,0)\}.
  • Se a=0,b\neq0 então \ker([T])=\operatorname{span}\{(0,1)\}.
  • Se a=b=0 então \ker([T])=\mathbb{R}^2.
Lembre-se da relação dimensão: \dim\ker+\dim\operatorname{Im}=2, e os casos acima satisfazem isso.

Passo 9

Diagonalização — quando isso acontece? Regras práticas:
  • Se ab>0 então os autovalores \pm\sqrt{ab} são reais e distintos. Autovalores distintos garantem que existem dois autovetores linearmente independentes, logo T é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Na prova, basta mostrar autovalores distintos para concluir diagonalizabilidade.
  • Se ab<0 então os autovalores são complexos \pm i\mu com \mu=\sqrt{-ab}. Nesse caso não há autovetores reais não-nulos (os autovetores são complexos) e T não é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Porém, sobre \mathbb{C} os autovalores são distintos ( \pm i\mu), logo T é diagonalizável sobre \mathbb{C}.
  • Se ab=0 e a matriz não for a nula (ou seja apenas um dos dois é zero), então o único autovalor é 0 com multiplicidade 2, mas há apenas uma direção própria — a matriz é semelhante a uma Jordan block e NÃO é diagonalizável (é nilpotente de índice 2). Se a=b=0 aí a matriz já é a diagonal zero e está “diagonalizada” (mas trivialmente).
Resumo simples que vale decorar: diagonalizável sobre \mathbb{R} exatamente quando ab>0; diagonalizável sobre \mathbb{C} quando ab\neq0 (autovalores distintos).

Passo 10

Interpretação geométrica rápida (para você ter intuição na prova):
  • Caso ab>0: há duas direções próprias reais ortogonais? Nem sempre ortogonais, mas há duas retas invariantes (linhas próprias) associadas aos autovalores \pm\sqrt{ab}. Em cada reta o vetor é apenas escalado (positivo ou negativo).
  • Caso ab<0: o operador faz algo parecido com uma rotação combinada com escala: como [T]^2=-\mu^2 I ( \mu=\sqrt{-ab}), quando aplicado duas vezes ele equivale a uma homotetia com fator -\mu^2. Isso lembra uma rotação (multiplicação por i) com escala \mu.
  • Caso ab=0 não trivial: é um \emph{shear}/mapa nilpotente (aplica algo que colapsa uma dimensão depois de duas aplicações).
Essas interpretações ajudam a responder questões conceituais ou desenhar o efeito de T num exercício.

Resposta

Autovalores: \lambda=\pm\sqrt{ab}.
Polinômio característico: \lambda^2-ab.
Traço: \operatorname{tr}([T])=0.
Determinante: \det([T])=-ab.
Invertibilidade: T é invertível se, e somente se, ab\neq0. Nesse caso [T]^{-1}=\begin{pmatrix}0 & 1/b\\[4pt] 1/a & 0\end{pmatrix} e [T]^{-1}=\dfrac{1}{ab}[T].
Quadrado e potências: [T]^2=ab\,I. Em geral [T]^{2k}=(ab)^k I e [T]^{2k+1}=(ab)^k [T] para k\in\mathbb{N}.
Autovetores (quando ab\neq0): para autovalor \lambda um autovetor conveniente é v_\lambda=\begin{pmatrix}a\\[4pt]\lambda\end{pmatrix} (ou v_\lambda=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda/a\end{pmatrix}).
Núcleo e imagem: \ker([T]) e \operatorname{Im}([T]) dependem de a,b conforme explicado (se ab\neq0, \ker=\{0\} e \operatorname{Im}=\mathbb{R}^2; se apenas um entre a,b for zero, então \ker e \operatorname{Im} têm dimensão 1; se a=b=0 então \ker=\mathbb{R}^2 e \operatorname{Im}=\{0\}).
Diagonalizabilidade: sobre \mathbb{R}, T é diagonalizável \iff ab>0. Sobre \mathbb{C}, T é diagonalizável \iff ab\neq0.]

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