Nos itens a seguir, encontre uma solução em sĂ©rie de potĂȘncias em torno de x=0 para as equaçÔes diferenciais a seguir.
y^prime-2 x y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial y' - 2 x y = 0. Queremos encontrar uma solução em série de potências em torno de x=0, ou seja, expressar y como sumn=0^infty an x^n e determinar os coeficientes an. Para isso, vamos usar o método de séries de potências: calcular y', alinhar com 2xy e comparar coeficientes de cada potência de x.

Passo 2

Assumimos a forma de série de potências
y = sumn=0^infty an x^n,
então a derivada é
y' = sumn=1^infty n an x^n-1 = sumn=0^infty (n+1)an+1 x^n

Passo 3

Escrevemos 2xy como série e realinhamos expoentes:
2x y = 2sumn=0^infty an x^n+1 = 2sumn=1^infty an-1 x^n

Passo 4

A equação y' - 2xy = 0 vira
sumn=0^infty (n+1)an+1 x^n - 2sumn=1^infty an-1 x^n = 0
Para n=0, isso dá (0+1)a1=0, logo a1=0. Para n>=1, o coeficiente de x^n implica
(n+1)an+1 - 2an-1 = 0,
ou seja
an+1 = 2n+1an-1

Passo 5

Observamos que a relação de recorrência relaciona coeficientes de ordem par e ímpar separadamente. Como a1=0, todos os coeficientes ímpares a2k+1 serão zero por recorrência.

Passo 6

Para os coeficientes pares, usando n=2k-1 na recorrência, temos
a2k = 22ka2k-2 = 1ka2k-2
Iterando essa relação, chega-se a
a2k = a0k!

Passo 7

Logo a solução em série se escreve apenas em termos de potências pares:
y = sumk=0^infty a2k x^2k = a0sumk=0^infty x^2kk!

Resposta

y = a0sumk=0^infty x^2kk!

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