Nos itens a seguir, encontre uma solução em sĂ©rie de potĂȘncias em torno de
para as equaçÔes diferenciais a seguir.
Passo 1
Temos a equação diferencial
. Queremos encontrar uma solução em série de potências em torno de
, ou seja, expressar
como
e determinar os coeficientes
. Para isso, vamos usar o método de séries de potências: calcular
, alinhar com
e comparar coeficientes de cada potência de
.
Passo 2
Assumimos a forma de série de potências
então a derivada é
Passo 3
Escrevemos
como série e realinhamos expoentes:
Passo 4
A equação
vira
Para
, isso dá
, logo
. Para
, o coeficiente de
implica
ou seja
Passo 5
Observamos que a relação de recorrência relaciona coeficientes de ordem par e ímpar separadamente. Como
, todos os coeficientes ímpares
serão zero por recorrência.
Passo 6
Para os coeficientes pares, usando
na recorrência, temos
Iterando essa relação, chega-se a
Passo 7
Logo a solução em série se escreve apenas em termos de potências pares: