Use uma integral de superfície para provar que
A área da superfície em forma de toro parametrizada por
onde
e
é igual a
.
A área da superfície em forma de toro parametrizada por
Passo 1
Estamos querendo achar a área da superfície em forma de toro dada pela parametrização
com
. O conteúdo envolvido é integral de superfície: usamos que a área é
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais da parametrização:
Passo 3
Agora mostramos que
Gammau e
Gammav são ortogonais e calculamos suas normas:
- Produto escalar:
- Módulos:
Passo 4
Como as derivadas são ortogonais, vale
Passo 5
Montamos a integral de superfície:
Primeiro integramos em
u :
Em seguida em
v :
Resposta
A área do toro é
A=4pi^2ab .