Use uma integral de superfície para provar que
A área da superfície em forma de toro parametrizada por
Gamma(u, v)=(a+b cos u) cos v i+(a+b cos u) sen v j+b sen u k
onde u in[0,2 pi] e v in[0,2 pi] é igual a A=4 pi^2 a b.

Passo 1

Estamos querendo achar a área da superfície em forma de toro dada pela parametrização
Gamma(u,v)=(a+bcos u)cos v,i+(a+bcos u)sin v,j+bsin u,k
com u,vin[0,2pi]. O conteúdo envolvido é integral de superfície: usamos que a área é
A=integral duplaDllVertGammautimesGammavrrVert,du,dv

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais da parametrização:
Gammau=partialGammapartial u=(-bsin ucos v, -bsin usin v,;bcos u)
Gammav=partialGammapartial v=l(-(a+bcos u)sin v, (a+bcos u)cos v,;0r)

Passo 3

Agora mostramos que Gammau e Gammav são ortogonais e calculamos suas normas:
  • Produto escalar:
GammaucdotGammav=0
  • Módulos:
lVertGammaurVert=b, lVertGammavrVert=a+bcos u

Passo 4

Como as derivadas são ortogonais, vale
lVertGammautimesGammavrVert=lVertGammaurVert,lVertGammavrVert=b,(a+bcos u)

Passo 5

Montamos a integral de superfície:
A=integralv=0^2piintegralu=0^2pib,(a+bcos u),du,dv
Primeiro integramos em u:
integral0^2pi(b a+b^2cos u),du=2pi b a+ b^2l[sin ur]0^2pi=2pi b a
Em seguida em v:
integral0^2pi2pi b a,dv=2pi b atimes2pi=4pi^2 a b

Resposta

A área do toro é A=4pi^2ab.

Exercícios relacionados