Nos itens a seguir, esboce a região limitada pelas curvas dadas e encontre sua área por meio de uma integral dupla.
y=11+x^2, y=x^2

Passo 1

O exercício pede para determinar a área da região limitada pelas curvas y=11+x^2 e y=x^2, usando integração dupla para calcular área. Vamos precisar encontrar onde elas se cruzam e então montar uma integral iterada.

Passo 2

Para achar as interseções, igualamos x^2 = tfrac11+x^2. Multiplicando por (1+x^2) x^4 + x^2 -1=0. Trate isso como uma quadrática em x^2:
x^2 = -1 pm raiz1+42 = -1 pm raiz52
Só consideramos x^2>=0, logo
x^2 = raiz5 -12,
e definimos
a = raizraiz5 -12,
de modo que as abscissas de interseção são x=pm a.

Passo 3

Para esboçar a região, observe que para |x| a curva y=tfrac11+x^2 está acima de y=x^2. A região limitada fica entre essas curvas, do lado esquerdo em x=-a ao direito em x=a, e verticalmente de y=x^2 até y=1/(1+x^2).

Passo 4

Montamos a integral dupla para a área:
A = integral duplaR dA = integralx=-a^a integraly=x^2^1/(1+x^2) dy,dx,
pois, para cada x fixo em [-a,a], y varia de x^2 até 1/(1+x^2).

Passo 5

Primeiro, integramos em y, que só dá a diferença das funções:
A = integral-a^a l(11+x^2 - x^2r) dx
Note que o integrando é função par, então podemos usar simetria.

Passo 6

Usando a paridade, escrevemos:
A = 2 integral0^a l(11+x^2 - x^2r) dx
As antiderivadas são integral 11+x^2dx = arctan(x) e integral x^2 dx = tfracx^33. Logo:
integral0^al(11+x^2-x^2r)dx = l[arctan(x)-tfracx^33r]0^a = arctan(a)-tfraca^33
Portanto
A = 2l(arctan(a)-tfraca^33r)

Passo 7

Substituindo a=raiz(raiz5-1)/2 no resultado final, obtemos a área da região:
A = 2(arctan!l(raiztfracraiz5-12r) - tfrac13l(raiztfracraiz5-12r)^3)

Resposta

A = 2\left(\arctan!\Bigl(\sqrt{\tfrac{\sqrt5-1}{2}}\Bigr) - \tfrac{1}{3}\Bigl(\sqrt{\tfrac{\sqrt5-1}{2}}\Bigr)^3\right).

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