Nos itens a seguir, esboce a região limitada pelas curvas dadas e encontre sua área por meio de uma integral dupla.
Passo 1
O exercício pede para determinar a área da região limitada pelas curvas
e
, usando integração dupla para calcular área. Vamos precisar encontrar onde elas se cruzam e então montar uma integral iterada.
Passo 2
Para achar as interseções, igualamos
. Multiplicando por
dá
. Trate isso como uma quadrática em
:
Só consideramos
, logo
e definimos
de modo que as abscissas de interseção são
.
Passo 3
Para esboçar a região, observe que para
a curva
está acima de
. A região limitada fica entre essas curvas, do lado esquerdo em
ao direito em
, e verticalmente de
até
.
Passo 4
Montamos a integral dupla para a área:
pois, para cada
fixo em
,
varia de
até
.
Passo 5
Primeiro, integramos em
, que só dá a diferença das funções:
Note que o integrando é função par, então podemos usar simetria.
Passo 6
Usando a paridade, escrevemos:
As antiderivadas são
e
. Logo:
Portanto
Passo 7
Substituindo
no resultado final, obtemos a área da região:
Resposta
A = 2\left(\arctan!\Bigl(\sqrt{\tfrac{\sqrt5-1}{2}}\Bigr) - \tfrac{1}{3}\Bigl(\sqrt{\tfrac{\sqrt5-1}{2}}\Bigr)^3\right).