Nos itens a seguir, esboce a região limitada pelas curvas dadas e encontre sua área por meio de uma integral dupla.
Passo 1
No enunciado, pedem a região limitada por
,
,
e
, e calcular sua área usando integral dupla. O conteúdo envolve funções hiperbólicas e integrais iteradas, e vamos precisar das primitivas de
e
.
Passo 2
Primeiro, esboce as curvas:
é ímpar e passa pela origem, enquanto
é par, sempre positiva e acima de
. Para
em
, temos
. A região é limitada verticalmente entre
(embaixo) e
(acima), e horizontalmente pelas retas
e
.
Passo 3
Para calcular a área, usamos a integral iterada com
variando de
a
e
de
a
:
Fazendo primeiro a integral interna em
Passo 4
Agora, integramos em
. Como
e
, temos
Usando
e
, isso simplifica para
.
Resposta
2\sinh(1)