Nos itens a seguir, esboce a região limitada pelas curvas dadas e encontre sua área por meio de uma integral dupla.
y=cosh x, y=sinh x, x=-1, x=1

Passo 1

No enunciado, pedem a região limitada por y=cosh x, y=sinh x, x=-1 e x=1, e calcular sua área usando integral dupla. O conteúdo envolve funções hiperbólicas e integrais iteradas, e vamos precisar das primitivas de cosh x e sinh x.

Passo 2

Primeiro, esboce as curvas: sinh x é ímpar e passa pela origem, enquanto cosh x é par, sempre positiva e acima de sinh x. Para x em [-1,1], temos sinh x<=cosh x. A região é limitada verticalmente entre y=sinh x (embaixo) e y=cosh x (acima), e horizontalmente pelas retas x=-1 e x=1.

Passo 3

Para calcular a área, usamos a integral iterada com x variando de -1 a 1 e y de sinh x a cosh x:
A=integral-1^1integralsinh x^cosh xdy,dx
Fazendo primeiro a integral interna em y, obtemos
A=integral-1^1l(cosh x-sinh xr),dx

Passo 4

Agora, integramos em x. Como integralcosh x,dx=sinh x e integralsinh x,dx=cosh x, temos
A=l[sinh x-cosh xr]-1^1 =l(sinh(1)-cosh(1)r)-l(sinh(-1)-cosh(-1)r)
Usando sinh(-1)=-sinh(1) e cosh(-1)=cosh(1), isso simplifica para 2sinh(1).

Resposta

2\sinh(1)

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