Calcule.
sumk=0^14 j^k

Passo 1

O enunciado pede para calcular sumk=0^14 j^k, isto é, somar potências do unitário imaginário. O conteúdo envolve progressão geométrica e propriedades de números complexos, especialmente a periodicidade de j.

Passo 2

As potências de j se repetem de 4 em 4: j^0 = 1, j^1 = j, j^2 = -1, j^3 = -j e depois j^4 = 1 de novo. Isso nos ajuda a simplificar a soma.

Passo 3

Como temos 15 termos (de k=0 a k=14), podemos agrupar em 3 ciclos completos de 4 termos (de k=0 a k=11). Cada ciclo soma 1 + j + (-1) + (-j) = 0. Logo, a soma dos três ciclos é 3 times 0 = 0.

Passo 4

Restam os termos de k=12 até k=14. Calculando: j^12 = (j^4)^3 = 1, j^13 = j^12 cdot j = j e j^14 = j^12 cdot j^2 = -1. Somando esses três: 1 + j + (-1) = j.

Resposta

j

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