Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável
e com integrações na variável
. Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(a)
e
.
(c)
e
.
(b)
e
.
(a)
(c)
(b)
Passo 1
Para cada item vamos escrever duas expressões da área: uma como integral em
e outra em
. Como todas as regiões têm limites verticais simples, fica mais direto usar integração em
. Vou mostrar as duas maneiras e, em seguida, escolher a integração em
para calcular de fato.
Passo 2
Item (a): as curvas
,
e
se intersectam em
,
e
.
Em :
Em
- para
a parte superior é e a inferior é , - para
a superior é e a inferior continua .
Logo
Em
teríamos também que dividir em duas faixas, então escolho
.
Passo 3
Calculo de
:
logo
Passo 4
Item (b): as retas
,
e
se cruzam em
,
e
.
Em :
Em
- para
a parte superior é e a inferior é , - para
a superior é e a inferior continua .
Logo
Em
também seria preciso dividir, então escolho
.
Passo 5
Calculo de
:
logo
Passo 6
Item (c): as curvas
e
entre
e
não se intersectam nesse intervalo, e para cada
o “topo” é
e a “base” é
.
Em :
Em
Em
exigiria várias divisões, então escolho
.
Passo 7
Calculo de
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)