Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável x e com integrações na variável y. Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(a) y=0, y=x e y=-x+5.
(c) y=x^2+1, y=x-2, x=0 e x=5.
(b) x+y=3, y=12 x e y=2 x.

Passo 1

Para cada item vamos escrever duas expressões da área: uma como integral em x e outra em y. Como todas as regiões têm limites verticais simples, fica mais direto usar integração em x. Vou mostrar as duas maneiras e, em seguida, escolher a integração em x para calcular de fato.

Passo 2

Item (a): as curvas ,y=0, y=x e y=-x+5 se intersectam em (0,0), (2,5,2,5) e (5,0).
Em x:
  • para 0<= x<=2,5 a parte superior é y=x e a inferior é y=0,
  • para 2,5<= x<=5 a superior é y=-x+5 e a inferior continua y=0.
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Aa^(x)=integral0^2,5(x-0),dx+integral2,5^5l((-x+5)-0r),dx
Em y teríamos também que dividir em duas faixas, então escolho Aa^(x).

Passo 3

Calculo de Aa:
integral0^2,5x,dx =l[tfrac12x^2r]0^2,5 =3,125,
integral2,5^5(-x+5),dx =l[-tfrac12x^2+5xr]2,5^5 =3,125,
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Aa=3,125+3,125=6,25=tfrac254

Passo 4

Item (b): as retas y=tfrac12x, y=2x e y=3-x se cruzam em (0,0), (2,1) e (1,2).
Em x:
  • para 0<= x<=1 a parte superior é y=2x e a inferior é y=tfrac12x,
  • para 1<= x<=2 a superior é y=3-x e a inferior continua y=tfrac12x.
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Ab^(x)=integral0^1l(2x-tfrac12xr),dx +integral1^2l((3-x)-tfrac12xr),dx
Em y também seria preciso dividir, então escolho Ab^(x).

Passo 5

Calculo de Ab:
integral0^1tfrac32x,dx =l[tfrac34x^2r]0^1 =tfrac34,
integral1^2(3-tfrac32x),dx =l[3x-tfrac34x^2r]1^2 =tfrac34,
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Ab=tfrac34+tfrac34=tfrac32

Passo 6

Item (c): as curvas y=x^2+1 e y=x-2 entre x=0 e x=5 não se intersectam nesse intervalo, e para cada x o “topo” é y=x^2+1 e a “base” é y=x-2.
Em x:
Ac^(x)=integral0^5l((x^2+1)-(x-2)r),dx =integral0^5(x^2-x+3),dx
Em y exigiria várias divisões, então escolho Ac^(x).

Passo 7

Calculo de Ac:
integral0^5(x^2-x+3),dx =l[tfrac13x^3-tfrac12x^2+3xr]0^5 =tfrac1253-tfrac252+15 =tfrac2656

Resposta

(a) tfrac254
(b) tfrac32
(c) tfrac2656

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