[26] Justifique por que a equação cos (x pi2)=2-3 x tem uma única solução.

Passo 1

O enunciado pede para justificar que a equação
cos!l(tfracxpi2r)=2-3x
tem exatamente uma solução real. O conteúdo principal aqui será usar propriedades de continuidade, o Teorema do Valor Intermediário e mostrar que a função envolvida é estritamente monotônica para garantir unicidade da raiz.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=cos!l(tfracxpi2r)+3x-2
Então a equação original é equivalente a
f(x)=0
Note que cos e polinômios são funções contínuas e diferenciáveis, logo f também é contínua e diferenciável em todo R.

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=-pi2,sin!l(tfracxpi2r)+3
Como -1<=sin<=1, temos
-pi2,sin!l(tfracxpi2r)>= -pi2,
portanto
f'(x)>= 3-pi2
Como pi/2approx1,57, então 3-tfracpi2>1,4>0. Logo f'(x)>0 para todo x, o que implica que f é estritamente crescente em R.

Passo 4

Uma função estritamente crescente não pode ter duas raízes distintas, pois isso violaria o fato de que seus valores só podem aumentar. Assim, f(x)=0 admite no máximo uma solução.

Passo 5

Para garantir que existe ao menos uma solução, vale notar que
f(-1)=cos!l(-tfracpi2r)+3(-1)-2 =0-3-2=-5<0
e
f(1)=cos!l(tfracpi2r)+3cdot1-2 =0+3-2=1>0
Como f é contínua e muda de sinal em -1 e 1, pelo Teorema do Valor Intermediário há pelo menos uma raiz em (-1,1).

Resposta

A função equivalente f(x)=cos!l(tfracxpi2r)+3x-2 é contínua e estritamente crescente ( f'(x)>0 em todo R), o que garante no máximo uma raiz. Como f(-1)<0 e f(1)>0, existe exatamente uma solução real para cos!l(tfracxpi2r)=2-3x.

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