[26] Justifique por que a equação
tem uma única solução.
Passo 1
O enunciado pede para justificar que a equação
tem exatamente uma solução real. O conteúdo principal aqui será usar propriedades de continuidade, o Teorema do Valor Intermediário e mostrar que a função envolvida é estritamente monotônica para garantir unicidade da raiz.
Passo 2
Definimos a função
Então a equação original é equivalente a
Note que
e polinômios são funções contínuas e diferenciáveis, logo
também é contínua e diferenciável em todo
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Como
, temos
portanto
Como
, então
. Logo
para todo
, o que implica que
é estritamente crescente em
.
Passo 4
Uma função estritamente crescente não pode ter duas raízes distintas, pois isso violaria o fato de que seus valores só podem aumentar. Assim,
admite no máximo uma solução.
Passo 5
Para garantir que existe ao menos uma solução, vale notar que
e
Como
é contínua e muda de sinal em
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário há pelo menos uma raiz em
.
Resposta
A função equivalente
é contínua e estritamente crescente (
em todo
), o que garante no máximo uma raiz. Como
e
, existe exatamente uma solução real para
.