Ache os máximos e mínimos relativos das funções dadas, pelo teste da derivada segunda.
g(x)=3 x^2-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos da função
g(x)=3x^2-2x+1
usando o teste da derivada segunda. Para isso, vamos:
  1. Calcular a derivada primeira ,g'(x), e achar os pontos críticos resolvendo g'(x)=0.
  2. Calcular a derivada segunda ,g''(x), e usar o sinal de g'' nos pontos críticos para classificar extremos.

Passo 2

Calculando a derivada primeira:
g'(x)=ddxl(3x^2-2x+1r)=6x-2
Para achar os pontos críticos, resolvemos
6x-2=0 Longrightarrow x=tfrac13

Passo 3

Calculamos a derivada segunda:
g''(x)=ddx(6x-2)=6
Como g''(x)=6>0 para todo x, a concavidade de g é voltada para cima em todos os pontos. Logo, no ponto crítico x=tfrac13 temos um mínimo relativo.

Passo 4

Calculamos o valor da função nesse ponto:
gl(tfrac13r) =3l(tfrac13r)^2-2l(tfrac13r)+1 =tfrac13-tfrac23+1 =tfrac23

Resposta

A função possui um único mínimo relativo em x=tfrac13, com valor gl(tfrac13r)=tfrac23. Não há máximo relativo.

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