Nos itens a seguir, fazer o que é solicitado:
Calcular a área da região R limitada pela curva y^2=x(x-1)^2

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pela curva
y^2=x(x-1)^2
Este é um problema de cálculo de área por integração em coordenadas cartesianas. Vamos usar que a curva é simétrica em torno do eixo x e calcular
A=integralx=a^x=bl(ysuperior-yinferiorr),dx

Passo 2

Para encontrar os limites em x, note que em y=0 temos
x(x-1)^2=0Longrightarrow x=0 ou x=1
Para 0<x<1 o produto x(x-1)^2 é positivo, logo existem duas raízes reais y=pmraizx(x-1)^2. Assim R é o laço fechado para 0<= x<=1.

Passo 3

Da equação da curva segue
ysuperior=raizx(x-1)^2=(1-x)raizx, yinferior=-,raizx(x-1)^2=-(1-x)raizx
Pela simetria em torno do eixo x, a área é
A =integral0^1l[(1-x)raizx - l(- (1-x)raizxr)r],dx =2integral0^1(1-x)raizx,dx

Passo 4

Desenvolvendo o integral:
2integral0^1(1-x)x^1/2,dx =2l[integral0^1x^1/2,dx - integral0^1x^3/2,dxr]
Calcule cada parte:
integral0^1x^1/2,dx=23, integral0^1x^3/2,dx=25
Logo
A=2l(tfrac23-tfrac25r) =2cdot10-615 =2cdot415 =815

Resposta

A área da região R é 815.

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