Resolver as seguintes integrais
integral a x+bp x+q d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral a x + bp x + q, dx
que é uma integral de quociente de polinômios. A técnica ideal aqui é executar a divisão de polinômios para reescrever o integrando como soma de um termo polinomial e de um termo na forma 1p x + q, pois sabemos como integrar ambos.

Passo 2

Fazemos a divisão de a x + b por p x + q. Procuramos constantes A e R tais que
a x + b = A,(p x + q) + R
Comparando coeficientes de x e dos termos constantes, vemos que
A = ap, R = b - A,q = b - ap,q

Passo 3

Substituímos no integrando e separamos a integral:
a x + bp x + q = A,(p x + q) + Rp x + q = A + Rp x + q
Logo,
integral a x + bp x + q,dx = integral A,dx + integral Rp x + q,dx

Passo 4

Calculamos cada parte:
  1. integral A,dx = A,x = ap,x
  2. Para integral Rp x + q,dx, como R é constante, integral Rp x + q,dx = R integral 1p x + q,dx = R cdot 1p lnl|p x + qr| = b - apqp lnl|p x + qr|

Passo 5

Reunindo e simplificando a constante que multiplica o logaritmo:
b - apqp = b p - a qp^2
Portanto a integral vale
ap,x + b p - a qp^2,lnl|p x + qr| + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

integral a x + bp x + q,dx = ap,x + b p - a qp^2,lnl|p x + qr| + C

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