Os itens a seguir mostram pontos e um vetor diretor. Para cada item, escreva as equações paramétricas das retas e faça o estudo da posição relativa das mesmas em relação aos eixos ou planos coordenados, sabendo que as retas passam pelo ponto médio do segmento A B :
A(-1,-2,-3), B(1,3,5) e v=(2,0,3)

Passo 1

O enunciado pede para achar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto médio de A(-1,-2,-3) e B(1,3,5), usando o vetor diretor vec v=(2,0,3), e em seguida estudar como essa reta se posiciona em relação aos eixos coordenados e aos planos coordenados. Vamos usar conceitos de geometria analítica: cálculo de ponto médio, escritura de reta por paramétricas, intersecção e paralelismo com eixos e planos.

Passo 2

Calcular o ponto médio M do segmento AB. As coordenadas de M são
Ml(-1+12,;-2+32,;-3+52r) =l(0,tfrac12,1r)

Passo 3

Escrever as equações paramétricas da reta r passando por M e com vetor diretor vec v=(2,0,3). Seja tinR. Então
x = 0 + 2t, y = tfrac12 + 0cdot t = tfrac12, z = 1 + 3t

Passo 4

Estudo em relação aos eixos coordenados:
  1. Intersecção com o eixo x (onde y=0 e z=0):
    tfrac12=0 não tem solução, logo não intersecta o eixo x.
  2. Intersecção com o eixo y (onde x=0 e z=0):
    de x=2t=0 vem t=0, mas então z=1neq0, logo não intersecta o eixo y.
  3. Intersecção com o eixo z (onde x=0 e y=0):
    de y=tfrac12 não há solução, logo não intersecta o eixo z.
  4. Paralelismo com eixos:
    vec v não é múltiplo de (1,0,0), (0,1,0) nem (0,0,1), logo não é paralelo a nenhum eixo.

Passo 5

Estudo em relação aos planos coordenados:
  1. Plano xy ( z=0):
    resolvendo 1+3t=0 t=-tfrac13, existe intersecção no ponto l(-tfrac23,tfrac12,0r).
  2. Plano xz ( y=0):
    como y=tfrac12 para todo t, a reta é paralela ao plano xz.
  3. Plano yz ( x=0):
    resolvendo 2t=0 t=0, existe intersecção em M=(0,tfrac12,1).

Resposta

Equações paramétricas:
x=2t, y=tfrac12, z=1+3t
Em relação aos eixos: não intersecta nenhum dos eixos e não é paralelo a nenhum.
Em relação aos planos: intersecta o plano xy em l(-tfrac23,tfrac12,0r), é paralelo ao plano xz e intersecta o plano yz em M=(0,tfrac12,1).

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